ほかにも忘れ去られたスペクトルがある可能性がある。

しかし、λ=(9-4/x^2)^1/2、あるいは一般にλ=(M^2-N^2/x^2)^1/2からxを求めるのは容易ではないだろう。

一番近道であると考えられる方法は

un+1=Mun+un-1, u1=L, u2=N,u3=MN+L

x^2-(M^2+2)xy+y^2={M^2(L^2-N^2)+M^3LN}(-1)^n

を考える。

{M^2(L^2-N^2)+M^3LN}が±平方数□となるのは

M=3の場合、9(L^2-N^2)+27LN

L=1とすると9-9N^2+27N＝±□

9N^2-27N-9±□=0

N={27+(1053±36□)^1/2}/18

(-),□=9,N=3

L=2とすると9-9N^2+27N＝±□

9N^2-54N-36±□=0

N={27+(1053±36□)^1/2}/9

(-),□=36,N=6

L=3とすると81-9N^2+81N＝±□

9N^2-81N-81±□=0

N={81+(9477±36□)^1/2}/18

(-),□=81,N=9

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いっぱんに

un+1=Mun+un-1, u1=L, u2=N,u3=MN+L

L=1,N=Mなる数列のひとつとび数列が、マルコフ数の候補になる（無限に候補がある）。

x^2-(M^2+2)xy+y^2={M^2(L^2-N^2)+M^3LN}(-1)^n

={M^2(1-M^2)+M^4}(-1)^n=M^2(-1)^n

M=3のとき

x^2+y^2+3^2=11xy≠9xy

M=4のとき

x^2+y^2+4^2=16xy≠12xy

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M^2+2=3MとなるのはM=1,2、すなわち、フィボナッチ数列とペル数列に限られることがわかる。

(M-1)(M-2)=0

L＞1のときはますます乖離することになるから、これにて終了とする。

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もっと一般にN=LMとおけるが

x^2-(M^2+2)xy+y^2={M^2(L^2-L^2M^2)+M^4L^2}(-1)^n

={M^2L^2}(-1)^n

x^2+y^2+/-{M^2L^2}=(M^2+2)/ML・xyz

(M^2+2)/ML=3、Mは整数、Lも整数→判別式が平方数→L=1となることが必要

(M^2+2)/M=3→M=1または2

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L=(M^2+2)/3M

M=3kのとき、L=(9k^2+2)/9k＝k+2/9k

M=3k+1のとき、L=(9k^2+6ｋ+3)/(9k+3)＝k+(3k+3)/(9k+3)・・・整数となるのはk=0のときのみ

M=3k+2のとき、L=(9k^2+12ｋ+6)/(9k+6)＝k+(6k+6)/(9k+6)・・・整数となるのはk=0のときのみ

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M=1のとき、L=1

M=2のとき、L=1

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