フィボナッチ数の生成関数は

{Fn}={F| F>0 for non-negative integer a,b,c,…,z}

F=w{1-[u+a-l]2-[v+b-l]2-[l2-lz-z2-1]2-[g2-gh-h2-1]2-[l2c-g]2-[ld-m+2]2-[(2h+g)e-m+3]2-[x2-mxy+y2-1]2-[l(p-1)-x+u]2-[(2h+g)(r-1)-x+v]2-[((2u-t)2+(w-v)2)((2u+1-t)2+ (w2-wv-v2-1)2]2}

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

F(2u-2)=vが成立することと(u,v)をパラメータとする以下の不定方程式系が正の整数解を持つことは同等である。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

(u-1)+(w-1)=v

l=v+a

l^2-lz-z^2=1

g=bl^2

g^2-gh-h^2=1

m=(2h+g)c+3

m=fl+2

x=(d-1)l+(u-1)

x=(2h+g)(e-1)+v

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

一方、Jones版は

u+a=l

v+b=l

l^2-lz-z^2=1

g^2-gh-h^2=1

l^2c=g

ld=m-2

(2h+g)e=m-3

x^2-mxy+y^2=1

l(p-1)=x-u

(2h+g)(r-1)=x-v

{(2u-t)^2+(w-v)^2}{(2u+1-t)^2+(w^2-wv-v^2-1)^2}=0

t=2u,w=F2uまたはt=2u+1,w=F(2u+1)

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

ペル方程式x^2-(a^2-1)y^2=1,v=yn(a)を満たすv,a,nが与えられているとする。このとき以下の方程式が正の整数解を持つ必要十分条件である。

n+(j-1)=v

p+(a-1)q=v+r

g=v+t

p^2-(a^2-1)q^2=1

h+(a+1)g=b(p+(a+1)q)^2

h+(a-1)g=c(p+(a-1)q)^2

h^2-(a^2-1)g^2=1

m=z(h+(a+1)g)+a

m=f(p+(a-1)q)+1

x^2-(m^2-1)y^2=1

y=(d-1)(p+(a-1)q)+n

y=(e-1)(h+(a+1)g)+v

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝