数列

1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,,,

の一般項を求めよ

数列

1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,19,21,23,25,,,

の一般項を求めよ

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

an=[{1+(8n-7)^1/2}/2]

bn=2n-[{1+(8n-7)^1/2}/2]

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

上の問題とはまったく関係はないが、NxN→Nへの1：1対応すなわち、全単射になっている関数を調べてみたい。

j(a,b)=[(a+b)(a+b+1)/2]+a

少し計算をしてみると

j(0,0)=0, j(0,1)=1, j(1,0)=2, j(0,2)=3, j(1,1)=4, j(2,0)=5

j(0,3)=6, j(1,2)=7, j(2,1)=8,,(3,0)=9, j((0,4)=10, j(1,3)=11,,,

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

n=j(a,b)すなわち

2n=(a+b)(a+b+1)+2a

これを変形すると

8n+1=(2a+2b+1)^2+8a

(2a+2b+1)^2≦(8n+1)＜(2a+2b+3)^2

[(8n+1)^1/2]=(2a+2b+1)あるいは[(8n+1)^1/2]=(2a+2b+2)

すなわち

[{[(8n+1)^1/2+1}/2]=(a+b+1)

a+b=[{[(8n+1)^1/2+1}/2]-1・・・(*)

また、

2n=(a+b)(a+b+1)+2a=(a+b)^2+3a+b

(*)を用いて、

3a+b=2n-(a+b)^2=2n-{[{[(8n+1)^1/2+1}/2]-1}^2・・・(**)

(*),(**)を連立１次方程式とみなせば、任意の自然数ｎに対してこれを満たす(a,b)がただ１組だけ存在することがわかる

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

自然数の有限列は表現することができることになる

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝