ｚ・ｅｘｐ（ｚｘ）／（ｅｘｐ(ｚ)−１）

＝（１＋ｘｚ＋１／２！ｘ^2ｚ^2＋１／３！ｘ^3ｚ^3＋・・・）（Ｂ0＋Ｂ1／１！ｚ＋Ｂ2／２！ｚ^2＋Ｂ3／３！ｚ^3＋・・・）

　　ｚ・ｅｘｐ（ｚ（ｘ＋１）／（ｅｘｐ(ｚ)−１）

＝ｚ・ｅｘｐ（ｚｘ）・ｅｘｐ（ｚ）／（ｅｘｐ(ｚ)−１）

＝ｚ・ｅｘｐ（ｚｘ）／（ｅｘｐ(ｚ)−１）＋ｚ・ｅｘｐ（ｚｘ）

　ｚ^sの項を比較すると

　　Ｂs（ｘ＋１）−Ｂs（ｘ）＝ｓｘ^s-1

　　Ｂs+1（ｘ＋１）−Ｂs+1（ｘ）＝（ｓ＋１）ｘ^s

ｘ＝０，１，２，・・・，ｎとして加えると

　　Σｋ^s＝１^s＋２^s＋３^s＋・・・＋ｎ^s

＝１／（ｓ＋１）・｛Ｂs+1（ｎ）−Ｂs+1（０）｝＋ｎ^s

＝ｎ^s+1／（ｓ＋１）＋ｎ^s／２＋（ｐ，１）Ｂ1／２・ｎ^s-1＋（ｐ，３）Ｂ4／４・ｎ^s-3＋・・・

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exp(x)=Σx^n/n!

Σexp(kx)=ΣΣk^mx^m/m!=Σ1/m!(Σk^m)x^m=n+Σ1/m!・σ(m)x^m

σ(m)はｍ乗和を表している。

いっぽう、等比級数

Σexp(kx)=Σ(exp(x))^k=exp(x){exp(nx)-1)}/{exp(x)-1}

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また、

xexp(x)/{exp(x)-1}=ΣBnx^n/n!

より

σ(m)=Σk^m=Σ(m,q)Bm-q/(q+1)・n^(q+1)

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