ファウルハーバーは，ベキ和の公式

　　Ｓs＝Σｋ^s＝１^s＋２^s＋３^s＋・・・＋ｎ^s

において，ｓ＝１７まで計算して，

［１］ｓが奇数のとき，ＳsはＳ1の多項式で表されることを見出し，

［２］ｓが偶数のときもこのことが成り立つと予想した．

　ヤコビはファウルハーバーの予想を証明し，

［３］ｓが偶数のときＳsはＳ2で割り切れ，さらに

［４］Ｓs／Ｓ2はＳ1の多項式で表されることを示した．

たとえば，

　　Ｓ3＝Ｓ1^2

　　Ｓ4＝Ｓ2（６Ｓ1−１）／５

　　Ｓ5＝（４Ｓ1^3−Ｓ1^2）／３

　　Ｓ6＝Ｓ2（１２Ｓ1^2−６Ｓ1＋１）／７

　ｓが偶数のときｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）（多項式）／（整数），１以外の奇数のときｎ^2（ｎ＋１）^2（多項式）／（整数）と書くことができる．また，Σｋ^sは（ｓ＋１）次の多項式になり，最高次数の係数は１／（ｓ＋１）となる．

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［Ｑ１］ＳsはＳ1で割り切れることを示せ．

　　Ｓs（ｘ＋１）−Ｓs（ｘ）＝（ｘ＋１）^s

　　Ｓs（０）＝０→Ｓs（−１）＝０

したがって，Ｓsはｘ（ｘ＋１）で割り切れる．

［Ｑ２］ｓが偶数の場合，ＳsはＳ2で割り切れることを示せ．

　　Ｓ2n（ｘ）＝Ｂ2n+1（ｘ＋１）／（２ｎ＋１）

　　Ｓ2n（−１／２）＝Ｂ2n+1（１／２）／（２ｎ＋１）

　　Ｂ2n+1（１／２）＝０→Ｓ2n（−１／２）＝０

したがって，Ｓ2nは２ｘ＋１で割り切れる．［Ｑ１］と併せて，

　　Ｓ2nはｘ（ｘ＋１）（２ｘ＋１）で割り切れる．

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