(x+1)^n-x^n=Σ(n,k)x^k

(n+1)^5-n^5=(5,0)+(5,1)n+(5,2)n^2+(5,3)n^3+(5,4)n^4=1+5n+10n^2+10n^3+5n^4

Σ (n+1)^5-Σn^5=Σ1+5Σn+10Σn^2+10Σn^3+5Σn^4

(n+1)^5-1=n+5n(n+1)/2+10n(n+1)(2n+1)/6+10n^2(n+1)^2/4+5Σn^4

5Σn^4=(n+1)^5-(n+1)-5n(n+1)/2-10n(n+1)(2n+1)/6-10n^2(n+1)^2/4

5Σn^4=(n+1){(n+1)^4-1-5n/2-5n(2n+1)/3-5n^2(n+1)/2}

5Σn^4=(n+1){n^4+4n^3+6n^2+4n-5n/2-5n(2n+1)/3-5n^2(n+1)/2}

5Σn^4=n(n+1){n^3+4n^2+6n+4-5/2-5(2n+1)/3-5n(n+1)/2}

5Σn^4=n(n+1){n^3+4n^2+6n+4-5/2-10n/3-5/3-5n^2/2-5n/2}

5Σn^4=n(n+1){n^3+3n^2/2+n/6-1/6}

5Σn^4=n(n+1)/6{6n^3+9n^2+n-1}

Σn^4を求めるのは面倒である。

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5Σn^4=n^2(n+1)^3-2Σn^3-Σn^2までわかっているとしたらどうだろうか？

30Σn^4=6n^2(n+1)^3-12Σn^3-6Σn^2

30Σn^4=6n^2(n+1)^3-3n^2(n+1)^2-n(n+1)(2n+1)

30Σn^4=n(n+1){6n(n+1)^2-3n(n+1)-(2n+1)}

30Σn^4=n(n+1){6n^3+12n^2+6n-3n^2-3n-2n-1}

30Σn^4=n(n+1){6n^3+9n^2+n-1}

大差なしといったところである

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