数列｛ａn｝と｛ｂn｝がともに無限大に発散し，差｛ａn−ｂn｝は無限大に発散するが，比｛ａn／ｂn｝は１に近づくという例に，階乗ｎ！とその近似値として使われる公式として有名なスターリングの公式：

　　ｎ！〜√（２πｎ）ｎ^nｅｘｐ（−ｎ）

があります．

　”〜”記号は漸近的に等しい，すなわちｎが十分大きいとき両者の比が１に近づくという意味であって，両者の差がなくなるという意味ではありません．いいかえれば，この近似式の絶対誤差はｎの増大とともに増大するが，相対誤差は減少する，つまり，左辺と右辺の比はｎを∞にすると極限が存在して０でも無限大でもなく，１に収束するということです．スターリングの公式ではｎが大きくなるほど相対誤差は小さくなります．

　スターリングの公式にはπが出現しますが，この公式は２項分布の正規分布への収束を示すド・モアブル=ラプラスの定理の証明などに用いられます．この定理は中心極限定理の特別な場合に相当しています．

　スターリングの公式の初等的証明については，黒川信重（数学セミナー，１９７２年６月号）などにも掲載されているそうですが，今回のコラムではいくつかの初等的証明を紹介します．

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【２】別証

（Ｑ）任意の自然数ｎに対して

　　ｎ！＝√（２πｎ）ｎ^nｅｘｐ（−ｎ）ｅｘｐ（θ／１２ｎ）

を満たす０≦θ≦１が存在することを証明せよ．

（Ａ）ｆ（ｘ）＝（１／２）ｌｏｇ（１＋ｘ）／（１−ｘ）−ｘ

とおく（０≦ｘ≦１）．

　　ｆ（０）＝０

　　ｆ’（ｘ）＝ｘ^2／（１−ｘ^2）＞０

さらに，

　　ｇ（ｘ）＝ｆ（ｘ）−ｘ^3／３（１−ｘ^2）

とおけば，

　　ｇ（０）＝０

　　ｇ’（ｘ）＝−２ｘ^4／３（１−ｘ^2）^2＜０

　よって，

　　０≦（１／２）ｌｏｇ（１＋ｘ）／（１−ｘ）−ｘ≦ｘ^3／３（１−ｘ^2）

が成り立つ．ｘ＝１／（２ｎ＋１）を代入すると

　　０≦（ｎ＋１／２）ｌｏｇ（ｎ＋１）／ｎ−１≦１／１２（１／ｎ−１／（ｎ＋１））

　　ａn＝ｎ^(n+1/2)exp(-n)/n!,ｂn＝ａnexp(1/12n)，ａn<ｂnとおくと

　　ｌｏｇａn+1／ａn≧０よりａn+1≧ａn

　　ｌｏｇｂn+1／ｂn≦０よりｂn+1≦ｂn

よって

　　ｃｎ^(n+1/2)ｅｘｐ（−ｎ）≦ｎ！≦ｃｎ^(n+1/2)ｅｘｐ（−ｎ）ｅｘｐ（１／１２ｎ）

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【３】ウォリスの公式

　さらに，ウォリスの公式より，ｃ＝√２πが示される．

（証）　　1/2B(1/2,(n+1)/2)=∫(0,π/2)(sinθ)^ndθ

この値をＳnとおくと，部分積分により漸化式

　　Ｓn=(n-1)/nＳn-2

が得られるから，

　　n=2k（偶数）なら1･3･･･(2k-1)/2･4･･･(2k)*π/2

　　n=2k+1（奇数）なら2･4･･･(2k)/1･3･･･(2k+1)

　これより

　　ｌｉｍ1･3･･･(2k-1)/2･4･･･(2k)*√(k)=1/√(π)

変形するとウォリスの公式

　　(2n)!/(2^nn!)^2√(n)=1/√(π)

が得られる．

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