■ピックの公式（その２）
ピックの公式を拡張したものがリーブの公式である．穴がない場合に図形を切ると２つの部分に分かれるが，穴がひとつの場合は切れ目を２箇所に，穴が二つの場合は切れ目を３箇所に入れなければ図形を２つの部分に分けることはできない．
リーブの論文：
Reeve, JE: On the volume of lattice polyhedra, Proceedings of the London Mathematical Society (3rd series), 7, 378-95, 1957
では，式を３次元に場合に拡張するためには図形に空いた穴の個数を考慮しなければならないことを出発点にして議論されている．
面積（体積）を求めるのトポロジーの定理が必要とされるというのは奇妙なことと感じられる．今回のコラムではリーブの論文の一部を抜粋して紹介する．
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【１】ピックからリーブへ
まず最初に，ピックの公式
Ａ＝Ｉ＋Ｂ／２−１
Ａ：格子多角形の面積
Ｉ：内部の点の個数
Ｂ：境界線上の点の個数
をリーブ流にアレンジしたい．
Ａ＝（Ｉ＋Ｂ）−Ｂ／２−１
図形ωの境界を∂ω，すなわち，中身を含まない表面を表し，整数格子点の数をＬ1（・）をすると，ピックの公式は
Ａ（ω）＝Ｌ1（ω）−Ｌ1（∂ω）／２−１
と表される．ここで，ωには中身に加えて表面∂ωも繰り込まれていることに注意されたい．
さらにこの式を一般化する．オイラー・ポアンカレ標数をχ（・）とすると，ピックの公式：
Ａ（ω）＝Ｌ1（ω）−Ｌ1（∂ω）／２−１
の一般形は
Ａ（ω）＝｛Ｌ1（ω）＋χ（ω）｝−｛Ｌ1（∂ω）＋χ（∂ω）｝／２
で表されるというものである．
ｍ次元複体ωのｋ次元面の個数をαkと表すとき，オイラー・ポアンカレ標数は，単体の個数の交代和
χ（ω）＝Σ(0,k)(-1)^kαk
で定義されるが，リーブの論文中の定義は
χ（ω）＝Σ(0,k)(-1)^(k+1)αk
となっているため，
χ（ω）＝−ｆ＝−１，χ（∂ω）＝−（ｖ−ｅ）＝０
したがって，穴のない場合は
Ａ（ω）＝Ｌ1（ω）−Ｌ1（∂ω）／２−１
というわけである．
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【２】リーブの公式
３次元の任意の格子多面体に対しては内部や境界面上の点の個数から体積を求める式はないという例をあげると，４点（０，０，０），（１，０，０），（０，１，０），（１，１，ｚ）を頂点とする三角錐（体積ｚ／６）では，
内部の格子点数＝０
面上の格子点数＝４
辺上の格子点数＝４
を変化させることなしに，ｚとともに体積をいくらでも大きくすることができる．
しかし，半整数格子Ｌ2を導入すれば体積を求めることができるというのが，リーブの定理である．
１２Ｖ（ω）＝２｛Ｌ2（ω）−２Ｌ1（ω）＋χ（ω）｝−｛Ｌ2（∂ω）−２Ｌ1（∂ω）＋χ（∂ω）｝
凸格子点多面体の場合は，
χ（ω）＝−ｃ＝−１，χ（∂ω）＝−（ｖ−ｅ＋ｆ）＝−２
より
１２Ｖ（ω）＝２｛Ｌ2（ω）−２Ｌ1（ω）｝−｛Ｌ2（∂ω）−２Ｌ1（∂ω）｝
当該の三角錐の場合
Ｌ1（ω）＝４，Ｌ1（∂ω）＝４
Ｌ2（ω）＝２ｚ−１＋１０，Ｌ2（∂ω）＝１０
より
Ｖ（ω）＝ｚ／６
縦ａ，横ｂ，奥行きｃ，体積ａｂｃの直方体の場合は
Ｌ1（ω）＝（ａ＋１）（ｂ＋１）（ｃ＋１）
Ｌ1（∂ω）＝２（ａ＋１）（ｂ＋１）＋２ｃ（ａ＋１）＋２（ｂ−１）（ｃ−１）
Ｌ2（ω）＝（２ａ＋１）（２ｂ＋１）（２ｃ＋１）
Ｌ2（∂ω）＝２（２ａ＋１）（２ｂ＋１）＋４ｃ（２ａ＋１）ｃ＋２（２ｂ−１）（２ｃ−１）
より
Ｖ（ω）＝ａｂｃ
なお，ここで，
Ｌ2（∂ω）−４Ｌ1（∂ω）＝−６
が成り立っている．
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【３】リーブの公式（その２）
半整数格子Ｌ2を導入した場合は
１２Ｖ（ω）＝２｛Ｌ2（ω）−２Ｌ1（ω）｝−｛Ｌ2（∂ω）−２Ｌ1（∂ω）｝
であるが，リーブはｎ分整数格子Ｌn（ｎ＝２，３，５，７，・・・）を導入するとき
２（ｎ−１）ｎ（ｎ＋１）Ｖ（ω）＝２｛Ｌn（ω）−ｎＬ1（ω）｝−｛Ｌn（∂ω）−ｎＬ1（∂ω）｝
Ｌn（∂ω）−ｎ^2Ｌ1（∂ω）＝２（１−ｎ^2）
となることも示している．
また，リーブはより高次元に拡張した式も予想している．４次元の場合は半整数格子Ｌ2に加え，３分整数格子Ｌ3を導入して
７２Ｖ（ω）＝２｛３Ｌ（ω）−３Ｌ2（ω）＋Ｌ3（ω）＋χ（ω）｝−｛３Ｌ（∂ω）−３Ｌ2（∂ω）＋Ｌ3（∂ω）＋χ（∂ω）｝
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