【５】７本の辺をもつ多面体？

　ｐi≧３，ｑi≧３ですから

　　２ｅ≧３ｆ，２ｅ≧３ｖ

このことから多面体は７本の辺をもつこと（ｅ＝７）は不可能であることが証明されます．

（証）ｅ＝７なる多面体が存在したと仮定すると，３ｆ≦１４，３ｖ≦１４．ｆ，ｖは面，頂点の個数なので，３より大きな整数でなければならない．したがって，ｆ＝４，ｖ＝４，ｅ＝７となるが，これはオイラーの多面体定理

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２

を満たさないので矛盾が生じる．

　このことから

　　ｆ≧４，ｖ≧４，ｅ≧６（ｅ≠７）

であることがわかりましたが，他にオイラーの多面体定理で示される制限はないのでしょうか？

　オイラーの多面体定理で示される制限からいえることとして，

　　ｖ−ｅ＋ｆ＝２，２ｅ≧３ｆ，２ｅ≧３ｖ

を組み合わせると，

　　２ｖ＋２ｆ＝２ｅ＋４≧３ｆ＋４　→　ｆ≦２ｖ−４

　　２ｖ＋２ｆ＝２ｅ＋４≧３ｖ＋４　→　ｖ≦２ｆ−４

これらはシュタイニッツの定理（１９０６年）と呼ばれますが，オイラー自身すでに

　　ｆ≦２ｖ−４，ｖ≦２ｆ−４

という結果を知っていたようです．また，別の組合せ方をすると，

　　３ｖ＋３ｆ＝３ｅ＋６≦２ｅ＋３ｆ　→　３ｆ−ｅ≧６

　　３ｖ＋３ｆ＝３ｅ＋６≧２ｅ＋３ｖ　→　３ｖ−ｅ≧６

も得られます．

　なお，これらの式の頂点ｖと面ｆの対称性により，ｆ面凸多面体とｖ点凸多面体は同数になるのですが，「４面体は４つの頂点と４つの面から構成されるので，頂点数を加えていうと，４点４面体である．５面体には４角錐（５点５面体）と３角柱（６点５面体）がある．６面体には５点６面体が１種類，６点６面体，７点６面体，８点６面体が２種類ずつの合計７種類ある．以下，７面体には３４種類，８面体には２５７種類，９面体には２６６種類ある．

　見方を変えて，凸多面体を頂点数で分類すると，４点多面体は１種類，５点多面体は２種類，６点多面体は７種類，７点多面体は３４種類，８点多面体は２５７種類，９点多面体は２６６種類，１０点多面体は３２３００種類ある．」・・・両者で同じ数値が出現していることに気づかれたかと思います．

　つぎに，３次元立体では必ず頂点に結合する辺の個数が３の頂点か３角形の面をもつことを示します．ｎ本の辺をもつｆn枚の面とｎ本の辺が交わるｖn個の頂点をもつ凸多面体について，

　i)Σｎｆn＝Σｎｖn

　ii)Σｆ2n+1は偶数

　iii)ｖ3＋ｆ3＞０

を順に示していきます．

（証）各辺は２個の頂点をもつから，Σｎｖn＝２Ｅ．また，各辺では２枚の面が交わるからΣｎｆn＝２Ｅ．

（証）ｉ）より，Σ（２ｎ＋１）ｆ2n+1＝（偶数），したがって，Σｆ2n+1も偶数．

（証）Ｅ＝Σｅn，Ｖ＝Σｖn，Ｆ＝Σｆn，Σｎｆn＝Σｎｖn＝２Ｅ．　　　　もしｖ3＝０，ｆ3＝０ならば，２Ｅ＝４ｖ4＋５ｖ5＋・・・≧４Ｖ．同様に，２Ｅ≧４Ｆ．これより，Ｖ−Ｅ＋Ｆ≦Ｅ／２＋Ｅ／２−Ｅ＝０．これはオイラーの多面体定理：Ｖ−Ｅ＋Ｆ＝２に矛盾するから，ｖ3，ｆ3のうち，少なくとも１つは０でない．

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