不思議な４平方和恒等式を紹介したい．

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［１］

　６（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2）

＝（ａ＋ｂ）^2＋（ａ−ｂ）^2＋（ｃ＋ｄ）^2＋（ｃ−ｄ）^2

＋（ａ＋ｃ）^2＋（ａ−ｃ）^2＋（ｂ＋ｄ）^2＋（ｂ−ｄ）^2

＋（ａ＋ｄ）^2＋（ａ−ｄ）^2＋（ｂ＋ｃ）^2＋（ｂ−ｃ）^2

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［２］

　６（ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2）^2

＝（ａ＋ｂ）^4＋（ａ−ｂ）^4＋（ｃ＋ｄ）^4＋（ｃ−ｄ）^4

＋（ａ＋ｃ）^4＋（ａ−ｃ）^4＋（ｂ＋ｄ）^4＋（ｂ−ｄ）^4

＋（ａ＋ｄ）^4＋（ａ−ｄ）^4＋（ｂ＋ｃ）^4＋（ｂ−ｃ）^4

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［雑感］

　２（ａ^2＋ｂ^2）

＝（ａ＋ｂ）^2＋（ａ−ｂ）^2

　しかし，

　２（ａ^2＋ｂ^2）^2≠（ａ＋ｂ）^4＋（ａ−ｂ）^4

　２平方和版は成り立たないわけであるから，６平方和版，８平方和版も成り立たないと思われる．

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8(a^2+b^2+c^2+d^2+1)=(2a+1)^2+(2a-1)^2+(2b+1)^2+(2b-1)^2+(2c+1)^2+(2c-1)^2+(2d+1)^2+(2d-1)^2

この恒等式より８の倍数が８つの奇数の平方和としてあらわされることがわかる

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(a+1)(b+1)(c+1)+(a-1)(b-1)(c-1)=2(a+b+c+abc)

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{x^2+y^2+(x+y)^2}^2=2{x^4+y^4+(x+y)^4}

x=Fn,y=Fn+1とおけば

{Fn^2+Fn+1^2+(Fn+2)^2}^2=2{Fn^4+Fn+1^4+(Fn+2)^4}

が得られる

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4a^4+b^4={a^2+(a+b)^2}{a^2+(a-b)^2}

4Fn^2+Fn-1^2={Fn^2+(Fn+1)^2}{Fn^2+(Fn-2)^2}={F2n+1}{Fn^2+(Fn-2)^2}

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(x+y)^3-x^3-y^3=3xy(x+y)

であるが

(x+y)^5-x^5-y^5=5xy(x+y)(x^2+xy+y^2)

(x+y)^7-x^7-y^7=7xy(x+y)(x^2+xy+y^2)^2

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