φの連平方根は

　　√（１＋√（１＋√（１＋√（１＋・・・））））＝φ　　（黄金比）

であるが、φの連立方根を求めてみよう

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

φはx^2=x+1の正根である。

3次方程式x^3=1+2xすなわち(x+1)(x^2-x-1)=0を考える

x=(1+2x)^1/3なので反復によって

φ=3√（１＋２3√（１＋２3√１＋・・・））））

を得る

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

4次方程式x^4=2+3xすなわち(x^2-x-1)(x^2+x+2)=0を考える.φは唯一の正根である。

x=(2+3x)^1/4なので反復によって

φ=4√（２＋３4√（２＋３4√２＋・・・））））

を得る

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

もっと一般にx^n=Fn-1+Fnxを考える.

(x^2-x-1)(x^n-2+xn-3+2x^n-4+・・・;Fkx^n-k-1+・・・+Fn-2x+Fn-1)=0,

φは唯一の正根である。

x=(Fn-1+Fnx)^1/nなので反復によって

φ=4√（Fn-1＋Fn n√（Fn-1＋Fn n√Fn-1＋・・・））））

を得る

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝