カッシーニの公式

Fn-1Fn+1-(Fn)^2=(-1)^n+1

は興味深い幾何学的パラドックス64=65?の基礎となっていることで知られている。

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一方、カッシーニの公式より

F2nF2n+4-(F2n+2)^2=-1

F2nF2n+4=(F2n+2)^2-1=(F2n+2-1)(F2n+2+1)

したがって、F2nF2n+2F2n+4=(F2n+2)F2n(F2n+2+1)となって、

F2nF2n+2F2n+4は連続する３つの整数の積で表すことができる。

たとえば，

F10F12F14＝55・144・377=2985840＝143・144・14

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ところで、フェルマーは{1,3,8,120}の中の２数の積に１を足すと平方数になることに気づいた。

1・3+1＝2^2

1・8+1＝3^2

1・120+1＝11^2

3・8+1＝5^2

3・120+1＝19^2

8・120+1＝31^2

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興味深いことに、1=F2,3=F4,8=F6,120=4F3F4F5になっている。これを一般化すると

{F2n,F2n+2,F2n+4,4F2n+1F2n+2F2n+3}中の２数の積に１を足すと平方数になる.

カッシーニの公式を使うとこのことを証明することができる。

n=1のとき、{1,3,8,120}

n=2のとき、{3,8,21,2080}

n=3のとき、{8,21,55,37128

カッシーニの公式を使うとこのことを証明することができる。

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