λ＞3ではF2n,P2n出現することがわかったが、

x^2+y^2+z^2+3xyzを満たすだろうか？

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フィボナッチ系列の1に面するところ

(1,3,8)→1^2+3^2+8^2=74=3xyz+2

(1,8,21)→1^2+8^2+21^2=506=3xyz+2

(1,21,55)→1^2+21^2+55^2=3467=3xyz+2

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ペル系列の2に面するところ

(2,12,70)→2^2+12^2+70^2=5048=3xyz+8

(2,70,408)→2^2+70^2+408^2=171368=3xyz+8

(2,408,2378)→2^2+408^2+2378^2=5821352=3xyz+8

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いずれでもない系列ではどうなるのだろうか？

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λ＜3のフィボナッチ系列の1に面するところ

x={a^2n-1-b^2n-1}/(a-b)

y={a^2n+1-b^2n+1}/(a-b)

z=1

x^2+y^2+z^2={a^4n-2-2(ab)^2n-1+b^4n-2}/(a-b)^2+{a^4n+2-2(ab)^2n+1+b^4n+2}/(a-b)^2+1

={a^4n-2+b^4n-2}/5+{a^4n+2+b^4n+2}/5+1+4/5

3xyz=3{a^2n-1-b^2n-1}{a^2n+1-b^2n+1}/(a-b)^2

=3{a^4n-(a^2n-1b^2n+1)-(a^2n+1b^2n-1)+b^4n)/5

=3{a^4n-(a^2n-1b^2n-1)b^2-(a^2n-1b^2n-1)a^2+b^4n)/5

=3{a^4n+b^2+a^2+b^4n)/5

=3{a^4n+b^4n)/5+9/5

x^2+y^2+z^2-3xyz={a^4n-2+b^4n-2}/5+{a^4n+2+b^4n+2}/5-3{a^4n+b^4n)/5+9/5-9/5

=a^4n-2{1+a^4-3a^2}/5+b^4n-2{1+b^4-3b^2}/5a

1+a^4-3a^2=1+３φ＋２−3φ-3=0

1+b^4-3b^2=1−３φ＋５+3φ-6=0

x^2+y^2+z^2-3xyz=0

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　　φ^-4＝−３φ＋５、 √５φ^-4＝７φ−１１

　　φ^-3＝２φ−３、 √５φ^-3＝-４φ＋７

　　φ^-2＝−φ＋２、 √５φ^-2＝３φ−４

　　φ^-1＝φ−１、 √５φ^-1＝−φ＋３

　　φ^0＝１、 √５φ^0＝２φ−１

　　φ^1＝φ、 √５φ^1＝φ＋２

　　φ^2＝φ＋１、 √５φ^2＝３φ＋１

　　φ^3＝２φ＋１、 √５φ^3＝４φ＋３

　　φ^4＝３φ＋２、 √５φ^4＝７φ＋４

　　φ^5＝５φ＋３、 √５φ^5＝11φ＋７

　　φ^6＝８φ＋５、 √５φ^6＝18φ＋11

　右辺ｍφ＋ｎの係数ｍ，ｎはフィボナッチ数列をなす．

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