λ＞3ではF2n,P2n出現することがわかったが、

x^2+y^2+z^2+3xyzを満たすだろうか？

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フィボナッチ系列の1に面するところ

(1,3,8)→1^2+3^2+8^2=74=3xyz+2

(1,8,21)→1^2+8^2+21^2=506=3xyz+2

(1,21,55)→1^2+21^2+55^2=3467=3xyz+2

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ペル系列の2に面するところ

(2,12,70)→2^2+12^2+70^2=5048=3xyz+8

(2,70,408)→2^2+70^2+408^2=171368=3xyz+8

(2,408,2378)→2^2+408^2+2378^2=5821352=3xyz+8

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いずれでもない系列ではどうなるのだろうか？

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ペル数列の場合、a=1+√2, b=1-√2,a^2+b^2=6,a^2=3+2√2、b^2=3-2√2,a^4=17+12√2、b^4=17−12√2

x={a^2n-b^2n}/(a-b)

y={a^2n+2-b^2n+2}/(a-b)

z=2

x^2+y^2+z^2={a^4n-2(ab)^2n+b^4n}/(a-b)^2+{a^4n+4-2(ab)^2n+b^4n+4}/(a-b)^2+4

={a^4n+b^4n}/8+{a^4n+4+b^4n+4}/8+4-4/8

3xyz=6{a^2n-b^2n}{a^2n+2-b^2n+2}/(a-b)^2

=6{a^4n+2-(a^2nb^2n)b^2-(a^2nb^2n)a^2+b^4n+2)/8

=6{a^4n+2-b^2-a^2+b^4n+2)/8

=6{a^4n+2+b^4n+2)/8-36/8

x^2+y^2+z^2-3xyz={a^4n+b^4n}/8+{a^4n+4+b^4n+4}/8-6{a^4n+2+b^4n+2)/8+28/8+36/8

=a^4n{1+a^4-6a^2}/8+b^4n{1+b^4-6b^2}/8+8

1+a^4-3a^2=1+(17+12√2）-6（3+2√2）=0

1+b^4-3b^2=1+(17-12√2）-6（3-2√2）=0

x^2+y^2+z^2-3xyz=8

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　　φ^-4＝−３φ＋５、 √５φ^-4＝７φ−１１

　　φ^-3＝２φ−３、 √５φ^-3＝-４φ＋７

　　φ^-2＝−φ＋２、 √５φ^-2＝３φ−４

　　φ^-1＝φ−１、 √５φ^-1＝−φ＋３

　　φ^0＝１、 √５φ^0＝２φ−１

　　φ^1＝φ、 √５φ^1＝φ＋２

　　φ^2＝φ＋１、 √５φ^2＝３φ＋１

　　φ^3＝２φ＋１、 √５φ^3＝４φ＋３

　　φ^4＝３φ＋２、 √５φ^4＝７φ＋４

　　φ^5＝５φ＋３、 √５φ^5＝11φ＋７

　　φ^6＝８φ＋５、 √５φ^6＝18φ＋11

　右辺ｍφ＋ｎの係数ｍ，ｎはフィボナッチ数列をなす．

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