２次元曲面上には∞本の直線が載るもの（たとえば，一葉双曲面）が存在する．一方，４次元曲面上には１本も直線は載らない．それでは問題．

３次曲面は何本の直線を含んでいるか？

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答えは27本である。

　コラム「ＤＥ群多面体の面数公式」で取り上げているＥ6が「３次元曲面上には最大２７本の直線が載る」という有名な事実と関係があることを知っている人は（たとえいたとしても）数少ないであろう．共平面な直線を共平面な直線に写す27本の直線の置換の数は51840で、これらの置換は群論でE6として知られる群をなす。

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平面の4次曲線はいくつの２重接線をもつか？

答えは28本である。

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27本の直線の配置

[1]この曲面の中の直線のうちのある２本が共平面であれば、同じ平面に属し曲面の中にある第３の直線が一意に存在する。

[2]l1を3次曲面内の２７本の直線のうちの1本とするとl1と共平面な直線は10本ある。

[3]それらをl2〜l11とすると互いに共平面な5対(l2l3,l4l5,〜l10l11)あり、これらの間にほかの共平面な２直線はない

[4]のこりの16本の直線l12〜l27はそれぞれ[3]の各対のちょうど１本と共平面である。

[5]l12〜l27のうちのどの２本に対しても、その２本と共平面なl2〜l11の直線の本数は奇数である。

[6]l12〜l27のうちの2本が共平面となるのはl2〜l11とのなかのちょうど１本がその両方と共平面となるときかつそのときに限る

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