Ｑ（√５）の基本単数を求めると，

　　ｘ^2−５ｙ^2＝±４，複号は−４で（１，１）が最小→ε＝（１＋√５）／２

ｍ　　ペル方程式の最小解　　　　　　　　ε　　　　　　　　　　　ノルム

５　　１^2−５・１^2＝−４　　　　　　　（１＋√５）／２　　　　　−１

　複号が４の場合は（３，１）が最小

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　√５の最良近似では

　　｛（１＋√５）／２｝^n＝ａn＋ｂn√５

　　｛（１−√５）／２｝^n＝ａn−ｂn√５

　　ａn+1＋ｂn+1√５＝（１＋√５）／２（ａn＋ｂn√５）

　　　　　　　　　　＝（ａn＋５ｂn）／２＋√５（ａn＋ｂn）／２

より

　　ａn+1＝（ａn＋５ｂn）／２

　　ｂn+1＝（ａn＋ｂn）／２

　　ａn+1＝（ａn＋５ｂn）／２＝ａn／２＋５（ａn-1＋ｂn-1）／4

　＝ａn／２＋ａn-1＋（ａn-1＋５ｂn-1）／4＝ａn＋ａn-1

　　ｂn+1＝（ａn＋ｂn）／２＝（ａn-1＋５ｂn-1）／4＋ｂn／２

　＝（ａn-1＋ｂn-1）／4＋ｂn／2＋ｂn-1＝ｂn＋ｂn-1

より

　　ａn+1＝ａn＋ａn-1，ｂn+1＝ｂn＋ｂn-1

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　α，βを２次方程式ｘ^2−ｘ−１＝０の根はα＝(1+√5)/2とβ＝(1-√5）/2 −１

初期値をａ1＝１，ａ2＝３，ｂ1＝１，ｂ2＝１とすると

　　ａn＝｛α^n-1（ａ2−βａ1）−β^n-1（ａ2−αａ1）｝／（α−β）

＝｛α^n-1（5+√5）/2−β^n-1（5-√5）/2｝／√5

ｎ＝１：ａ1＝１

ｎ＝２：ａ2＝３

　　ｂn＝｛α^n-1（ｂ2−βｂ1）−β^n-1（ｂ2−αｂ1）｝／（α−β）

＝｛α^n-1（α）-β^n-1（β）｝／√5

ｎ＝１：ｂ1＝１

ｎ＝２：ｂ2＝１

となります．

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2x-3y=an,x=(an+3y)/2

y=bn=｛α^n-β^n）｝／√5

an=｛α^n+β^n）

x=(｛α^n+β^n）+3｛α^n-β^n）｝／√5)/2

=(｛α^n(3+√5)/2√5+β^n(3-√5)/2√5）

=｛α^n+2-β^n+2）｝／√5

これが一番うまく行く方法であった。

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