Ｑ（√５）の基本単数を求めると，

　　ｘ^2−５ｙ^2＝±４，複号は−４で（１，１）が最小→ε＝（１＋√５）／２

ｍ　　ペル方程式の最小解　　　　　　　　ε　　　　　　　　　　　ノルム

５　　１^2−５・１^2＝−４　　　　　　　（１＋√５）／２　　　　　−１

　複号が４の場合は（３，１）が最小

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　√５の最良近似では

　　｛（１＋√５）／２｝^n＝ａn＋ｂn√５

　　｛（１−√５）／２｝^n＝ａn−ｂn√５

　　ａn+1＋ｂn+1＝（１＋√５）（ａn＋ｂn√５）

　　　　　　　　　　＝（ａn＋５ｂn）＋√５（ａn＋ｂn）

より

　　ａn+1＝（ａn＋５ｂn）

　　ｂn+1＝（ａn＋ｂn）

　　ａn+1＝（ａn＋５ｂn）＝ａn＋５（ａn-1＋ｂn-1）

　＝ａn＋4ａn-1＋（ａn-1＋５ｂn-1）＝2ａn＋4ａn-1

　　ｂn+1＝（ａn＋ｂn）＝（ａn-1＋５ｂn-1）＋ｂn

　＝（ａn-1＋ｂn-1）＋4ｂn-1＋ｂn＝2ｂn＋4ｂn-1

より

　　ａn+1＝2ａn＋4ａn-1，ｂn+1＝2ｂn＋4ｂn-1

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　α，βを２次方程式ｘ^2−2ｘ−4＝０の根はα＝1+√5とβ＝１−√5

初期値をａ1＝１，ａ2＝３，ｂ1＝１，ｂ2＝１とすると

　　ａn＝｛α^n-1（ａ2−βａ1）−β^n-1（ａ2−αａ1）｝／（α−β）

＝｛α^n-1（2+√5）−β^n-1（2-√5）｝／2√5

ｎ＝１：ａ1＝１

ｎ＝２：ａ2＝３

　　ｂn＝｛α^n-1（ｂ2−βｂ1）−β^n-1（ｂ2−αｂ1）｝／（α−β）

＝｛α^n-1（√5）-β^n-1（−√5）｝／2√5

ｎ＝１：ｂ1＝１

ｎ＝２：ｂ2＝１

となります．

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2x-3y=an,x=(an+3y)/2

y=bn=｛α^n-1（√5）-β^n-1（−√5）｝／2√5

x=｛α^n-1（2+√5）/2−β^n-1（2-√5）/2｝／2√5+｛α^n-1（3√5/2）-β^n-1（−3√5/2）｝／2√5

x=｛α^n-1（1+√5）−β^n-1（1-√5）｝／2√5

ここで、,

α＝(1+√5)/2とβ＝(１−√5)/2とすると

x=｛α^2n-2（α）−β^2n-2（β）｝／√5

y=bn=｛α^2n-2+β^2n-2｝／2

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