三角形の５心とは内心，傍心，重心，外心，垂心を指しますが，古代ギリシャ人は５心について知っていました．その１５００年後，フェルマー点が発見され，さらに１〜２世紀後に９点円の中心，その次がジュルゴンヌ点，１９世紀にはいるとナーゲル点やブロカール点などが発見されました．

ジュルゴンヌ点は三角形の頂点とその対辺の内接円の接点を結ぶ線分の交点です。ジェルゴンヌは1814年に除法可能性判定基準を考案しています。

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整数aの10進数表現をΣai(10)^i,各桁の数字の和をs=Σai,数字の交代和をt=Σ(-1)^iaiとする。

[1]9|aとなる必要十分条件は9|s

[2]3|aとなる必要十分条件は3|s

[3]11|aとなる必要十分条件は9|t

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[4]7に関する除法可能性判定基準

(1)Nの下2桁を切り捨てる。

(2)残った数を２倍して、それに切り捨てた数の2けたを加える

(3)結果が７で割り切れるとき、その時に限りNは７で割り切れる

N=13295476の場合

2・132954+76＝265984

2・2659+84=5402

2・54+02＝110・・・7で割り切れない→Ｎは７で割り切れない

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[4]13に関する除法可能性判定基準

(1)Nの下1桁を切り捨てる。

(2)残った数に、切り捨てた数の4倍を加える

(3)結果が13で割り切れるとき、その時に限りNは13で割り切れる

N=53699139の場合

5369913+4・9＝5369949

536994+4・9＝537030

53703

5370+4・3＝5382

538+4・2＝546

54+4・6＝78

7+4・8＝39・・・13で割り切れる→Ｎは13で割り切れる

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