三角形の５心とは内心，傍心，重心，外心，垂心を指しますが，古代ギリシャ人は５心について知っていました．その１５００年後，フェルマー点が発見され，さらに１〜２世紀後に９点円の中心，その次がジュルゴンヌ点，１９世紀にはいるとナーゲル点やブロカール点などが発見されました．

ジュルゴンヌ点は三角形の頂点とその対辺の内接円の接点を結ぶ線分の交点です。ジェルゴンヌは1814年に除法可能性判定基準を考案しています。

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整数aの10進数表現をΣai(10)^i,各桁の数字の和をs=Σai,数字の交代和をt=Σ(-1)^iaiとする。

[1]9|aとなる必要十分条件は9|s

[2]3|aとなる必要十分条件は3|s

[3]11|aとなる必要十分条件は9|t

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4と9の間に4(n)8(n)を挿入する。

49,4489,444889,44448889,4444488889,・・・

各項が平方数になることを示す。

9+8・10+8・10^2+・・・+8・10^n+4・10^n+1＋・・・+4・10^2n+1

=1+4(1+10+10^2+・・・)+4(1+10+・・・+10^2n+1)

=1+4・(10^n+1-1)/9+4・(10^2n+2-1)/9

=4・10^2n+2+4・10^n+1+1)/9

={(2・10^n+1+1)/3}^2

3は(2・10^n+1+1)を割り切るから(2・10^n+1+1)/3は整数である。

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