S={(x,y)| 0≦x≦1,0≦y≦1}

T={(u,v)| u+v≦π/2}

x=sinu/cosv,y=sinv/cosu　

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　独立な変数x,yと別の独立な変数z,w間に，

x=x(u,v) u=u(x,y)

y=y(u,v) v=v(x,y)

の関係があり，xy平面上の領域Ｒとuv平面上の領域Ｒ’に１対１の対応があるとき，積分変数の変換公式

∫∫sf(x,y)dxdy=∫∫tf(x(u,v),y(u,v))|J|dudv

が成立する．

　ここで，変換係数Ｊは

J=∂(x,y)/∂(u,v)=|∂x/∂u,∂x/∂v|

|∂y/∂u,∂y/∂v|

で与えられ，ヤコビアンといいます．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

∂x/∂u=cosu/cosv,∂x/∂v=-sinusinu/(cosv)^2

∂y/∂u=-sinusinv/(cosu)^2,∂y/∂v=cosv/cosu

J=1-(sinusinu)^2/(cosucosv)^2=1-x^2y^2

∫∫tdudv=∫∫s1/(1-x^2y^2)dxdy

π^2/8=∫∫tdudv=∫∫s1/(1-x^2y^2)dxdy=1/1^2+1/3^2+1/5^2+・・・=(1-2^2)ζ(2)

したがって、ζ(2)=π^2/6

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

x=u^2・(1+v^2)/(1+u^2),y=v^2・(1+u^2)/(1+v^2)と変数変換する。

このとき、ヤコビアンは

∂x/∂u=-2u・(1+v^2)/(1+u^2)^2,∂x/∂v=2v(u^2)/(1+u^2)

∂y/∂u=2u(v^2)/(1+v^2),∂y/∂v=-2v・(1+u^2)/(1+v^2)^2

J=4uv/(1+u^2)(1+v^2)-4uv・u^2v^2/(1+u^2)(1+v^2)=4uv(1-u^2v^2)/(1+u^2)(1+v^2)

xy=u^2v^2,uv=(xy)^1/2

J=4(xy)^1/2(1-xy)/(1+u^2)(1+v^2)

I=∫∫dxdy/(1-xy)√xyとおくと

I=4∫∫dudv/(1+u^2)(1+v^2)

u→s=1/u,v→t=1/v

ds=-1/u^2du,dt=-1/v^2dt

I=4∫∫u^2v^2dsdt/(1+u^2)(1+v^2)=2∫∫(0,∞)dsdt/(1+s^2)(1+t^2)

∫(0,∞)ds/(1+s^2)=π/2より

I=π^2/2

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　　Ｉ＝∫(0,1)∫(0,1)１／（１−ｘｙ）ｄｘｄｙ／√ｘｙ

＝∫∫(1+xy+x^2y^2+・・・)/√xydxdy

＝∫∫(1/x^1/2y^1/2+x^1/2y^1/2+x^3/2y^3/2+・・・)dxdy

＝∫[∫(1/x^1/2y^1/2+x^1/2y^1/2+x^3/2y^3/2+・・・)dx]dy

=∫(2/y^1/2+2/3y^1/2+2/5y^3/2+・・・)dy

=4+(2/3)^2+(2/5)^2+・・・

=4{1+1/3^2+1/5^2+・・・}=π^2/2=3ζ(2)

ζ(2)=π^2/6

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝