【１】ζ（3）の無理数性

　１９７９年，程なく，ボイカーズは周期積分の原理を用いた証明を見つけました．ある数が周期であるとは「代数的係数多項式で与えられる領域ｃ上で，代数係数の代数的関数の積分として表される」ことをいいます．→コラム「数にまつわる話」参照

　たとえば，積分

　　Ｉ＝∫(0,1)∫(0,1)１／（１−ｘｙ）ｄｘｄｙ／√ｘｙ

において，１／（１−ｘｙ）を幾何級数として展開し，項別積分すると

　　Ｉ＝Σ１／（ｎ＋１／２）^2

　このとき，

　　１＋１／３^2＋１／５^2＋１／７^2＋・・・

の値が必要になりますが，この値はζ（２）＝Σ１／ｎ^2から次のようにして求まります．

　　１＋１／２^2＋１／３^2＋１／４^2＋・・・

　＝（１＋１／２^2＋１／４^2＋・・・）（１＋１／３^2＋１／５^2＋・・・）

　＝１／（１−１／４）・（１＋１／３^2＋１／５^2＋・・・）

分母を奇数のベキ乗だけにすると一般式は

　　{1-2^(ｰs)}ζ（ｓ）

となるのです．したがって，

　　∫(0,1)∫(0,1)１／（１−ｘｙ）ｄｘｄｙ／√ｘｙ＝（４−１）ζ（2）

　さらにζ（3）は，ｃ：０＜ｘ＜ｙ＜ｚ＜１として

　　ζ（3）＝∫(c)ｄｘｄｙｄｚ／（１−ｘ）ｙｚ

　このように，ｓ≧２のすべての整数でのζ（ｓ）値は周期になることがわかっていますが，ボイカーズはアペリの論じている考えを土台にして，

　　｜ａnζ（3）−ｂn｜＜α^(-n)

を導き出しました．

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　　Ｉ＝∫(0,1)∫(0,1)１／（１−ｘｙ）ｄｘｄｙ／√ｘｙ

＝∫∫(1+xy+x^2y^2+・・・)/√xydxdy

＝∫∫(1/x^1/2y^1/2+x^1/2y^1/2+x^3/2y^3/2+・・・)dxdy

＝∫[∫(1/x^1/2y^1/2+x^1/2y^1/2+x^3/2y^3/2+・・・)dx]dy

=∫(2/y^1/2+2/3y^1/2+2/5y^3/2+・・・)dy

=4+(2/3)^2+(2/5)^2+・・・

=4{1+1/3^2+1/5^2+・・・}=π^2/2=3ζ(2)

ζ(2)=π^2/6

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