S={(x,y)| 0≦x≦1,0≦y≦1}

T={(u,v)| u+v≦π/2}

x=sinu/cosv,y=sinv/cosu　

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　独立な変数x,yと別の独立な変数z,w間に，

x=x(u,v) u=u(x,y)

y=y(u,v) v=v(x,y)

の関係があり，xy平面上の領域Ｒとuv平面上の領域Ｒ’に１対１の対応があるとき，積分変数の変換公式

∫∫sf(x,y)dxdy=∫∫tf(x(u,v),y(u,v))|J|dudv

が成立する．

　ここで，変換係数Ｊは

J=∂(x,y)/∂(u,v)=|∂x/∂u,∂x/∂v|

|∂y/∂u,∂y/∂v|

で与えられ，ヤコビアンといいます．

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∂x/∂u=cosu/cosv,∂x/∂v=-sinusinu/(cosv)^2

∂y/∂u=-sinusinv/(cosu)^2,∂y/∂v=cosv/cosu

J=1-(sinusinu)^2/(cosucosv)^2=1-x^2y^2

∫∫tdudv=∫∫s1/(1-x^2y^2)dxdy

π^2/8=∫∫tdudv=∫∫s1/(1-x^2y^2)dxdy=1/1^2+1/3^2+1/5^2+・・・=(1-2^2)ζ(2)

したがって、ζ(2)=π^2/6

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∫∫s1/(1-x^2y^2)dxdy=∫∫s(1+x^2y^2+x^4y^4+・・・)dxdy

=∫[∫(1+x^2y^2+x^4y^4+・・・)dx]dy=∫(1+y^2/3+y^4/5+・・・)dy

=1/1^2+1/3^2+1/5^2+・・・=(1-2^2)ζ(2)

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ｓ≧２のすべての整数でのζ（ｓ）値は周期になることがわかっています．たとえば，積分

　　Ｉ＝∫(0,1)∫(0,1)１／（１−ｘｙ）ｄｘｄｙ／√ｘｙ

において，１／（１−ｘｙ）を幾何級数として展開し，項別積分すると

　　Ｉ＝Σ１／（ｎ＋１／２）^2

　このとき，

　　１＋１／３^2＋１／５^2＋１／７^2＋・・・

の値が必要になりますが，この値はζ（２）＝Σ１／ｎ^2から次のようにして求まります．

　　１＋１／２^2＋１／３^2＋１／４^2＋・・・

　＝（１＋１／２^2＋１／４^2＋・・・）（１＋１／３^2＋１／５^2＋・・・）

　＝１／（１−１／４）・（１＋１／３^2＋１／５^2＋・・・）

分母を奇数のベキ乗だけにすると一般式は

　　{1-2^(ｰs)}ζ（ｓ）

となるのです．したがって，

　　∫(0,1)∫(0,1)１／（１−ｘｙ）ｄｘｄｙ／√ｘｙ＝（４−１）ζ（2）

　さらにζ（3）は，ｃ：０＜ｘ＜ｙ＜ｚ＜１として

　　ζ（3）＝∫(c)ｄｘｄｙｄｚ／（１−ｘ）ｙｚ

このように，多くの式の無限和も周期となります．

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