［Ｑ］ｎ^5−ｎは１０の倍数であることを示せ．

［A］ｎ^5−ｎ＝ｎ（ｎ^4−１）＝ｎ（ｎ^2−１）（ｎ^2＋１）

＝（ｎ−１）ｎ（ｎ＋１）（ｎ^2＋１）

　（ｎ−１）ｎ（ｎ＋１）は３個の連続する整数の積であるから３！＝６で割り切れることはわかるが，（ｎ^2＋１）は

　　２，５，１０，１７，２６，・・・

となって，ｎ^5−ｎが１０の倍数であるかどうかはよくわからない．

　そこで，数学的帰納法を使ってみよう．

Ｐ（１）＝１^5−１＝０・・・１０の倍数である

Ｐ（ｋ）＝ｋ5−ｋが１０の倍数であると仮定する．このとき，

Ｐ（ｋ＋１）＝（ｋ＋１）^5−（ｋ＋１）

＝（ｋ^5−ｋ）＋５ｋ（ｋ＋１）（ｋ^2＋ｋ＋１）

　ｋ（ｋ＋１）は２の倍数であるから，（ｋ^5−ｋ）も５ｋ（ｋ＋１）（ｋ^2＋ｋ＋１）も１０の倍数である．→Ｐ（ｋ＋１）は１０の倍数である．

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42が任意の整数に対してn^7-nを割り切ることを示したい。

（証）

n^7-n=(n-1)n(n+1)(n^2+n+1)(n^2-n+1)

フェルマーの小定理よりn^7-nは7で割り切れる。

(n-1)n(n+1)は連続する3数だから6で割り切れる。

gcd(7,6)=1よりn^7-nは42で割り切れる。

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30が任意の整数に対してn^5-nを割り切ること、ｎが奇数ならば240で割り切れることを示したい。

（証）

n^5-n=(n-1)n(n+1)(n^2+1)

フェルマーの小定理よりn^7-nは5で割り切れる。

(n-1)n(n+1)は連続する3数だから6で割り切れる。

gcd(5,6)=1よりn^5-nは30で割り切れる。

n=2m+1ならばn^5-n=(n-1)n(n+1)(n^2+1)=8(2m+1)m(m+1)(2m^2+2m+1)は16で割り切れる

したがって、gcd(15,16)=1よりn^5-nは240=15・16で割り切れる

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