任意の自然数x,yに対して

f(x,y)=1/2(y-1){|a^2-1|-(a^2-1)}+2

a=x(y+1)-(y!+1)とおく。

x,yが正整数を動くとき、f(x,y)はすべての素数を含む。この関数は素数2を無限回生成するが、各奇素数はただ１度だけ生成する素数生成関数の１例である。

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ｐは奇素数

x0={(p-1)!+1}/p,y0=p-1のとき、

a={(p-1)!+1}/p・(p-1-1)-{(p-1)!+1}=0より

f(x0,y0)={(p-1)-1}/2・{|-1|-(-1)}+2=p-2+2=p

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nは任意の正の整数とする。このとき、f(n,n)=?

a^2-1≧0のとき、{|a^2-1|-(a^2-1)}=0より、f(x,y)=2

a^2-1＜0のとき、{|a^2-1|-(a^2-1)}=-2a^20より、f(x,y)=-(y-1)a^2+2

a=0のとき、{|a^2-1|-(a^2-1)}=2より、f(x,y)=y+1

x=y=nに対してa=n(n+1)-(n!+1)=0となるのはn=1のときに限る。よってf(n,n)=2

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