1829年、ヤコビはz≠0,|x|＜1のとき、

Π(1,∞)(1-x^2n)(1+x^(2n+1)z)(1+x^(2n-1)z^-1)=Σ(-∞,∞)x^(2^n)z^n

を証明した。　彼はこれを使って・・・

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(a)Π(0,∞)(1-x^(2n+2))(1+x^n)=Σ(-∞,∞)x^(n(n+1)/2)

(証明)

Π(1,∞)(1-x^2n)(1+x^(2n-1)z)(1+x^(2n-1)z^-1)=Σ(-∞,∞)x^(n^2)z^n

x=z=u^1/2とおくと

Π(1,∞)(1-u^n)(1+u^n)(1+u^(n-1))=Σ(-∞,∞)u^(n(n+1)/2)

左辺は

Π(1,∞)(1-u^2n)(1+u^(n-1))=Π(0,∞)(1-u^(2n+2))(1+u^(n))

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さらに

(b)Π(0,∞)(1-x^2n)/(1-x^(2n-1))=Σ(0,∞)x^(n(n+1)/2)

(c)Π(0,∞)(1-x^2n)^3=Σ(0,∞)(-1)^n(2n+1)x^(n(n+1)/2)

を証明した

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