１　　7　　21　　35　　35　　21　　7　　１　　合計１２８

１　　8　　28　　56　　70　　56　　28　　8　　１　　合計２５６

１　　9　　36　　84　　126　　126　84　　36　　9　　１　　合計５１２

１　　10　　45　　120　　210　　252　210　　120　　45　　10　　１　　合計１０２４

１　　11　　55　　165　　330　　462　462　　330　　165　　55　　1１　　1　　合計２０４８

１　　12　　66　　220　　495　　792　924　　792　　495　　220　　66　　12　　1　　合計４０９６

は、

[7]　　　　　　　１　　1　　０　　２　　２　　０　　１　　1　　合計219

[8]　　　　　１　　２　　１　　２　　１　　２　　１　　２　　1　　合計511

[9]　　　　１　　0　　０　　０　　０　　0　　0　　０　　０　　1　　合計1025

[10]　　１　　1　　０　　０　　０　　0　　0　　０　　０　　1　　１　　合計1539

[11]　１　　２　　１　　０　　０　　0　　0　　０　　０　　1　　２　　１　　合計3591

[12]１　　０　　０　　１　　０　　0　　0　　０　　０　　1　　０　　0　　１　　合計4617

[0]１　　2　　4　　8　　16　　32　　64 １28　256　512　1024　2048　4096

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[11]　１　　２　　１　　０　　０　　0　　0　　０　　０　　1　　２　　１　　合計3591

　　nCk＝０　　（ｍｏｄ３）→白

　　nCk＝１　　（ｍｏｄ３）→黒

　　nCk＝２　　（ｍｏｄ３）→灰色

ｎ，ｋを３進数で表す．たとえば，11Ckでは

　　１１＝１０２(3)

［１］このとき，11Ck＝０　　（ｍｏｄ３）となるｋは

　　ｋ＝３，４，５，６，７，８

で，３進数表記では

　　３＝０１０(3)

　　４＝０１１(3)

　　５＝０１２(3)

　　６＝０２０(3)

　　７＝０２１(3)

　　８＝０２２(3)

で，１１＝１０２(3)と同じ桁で大小逆転が起こっている．

［２］11Ck＝１　　（ｍｏｄ３）となるｋは

　　ｋ＝０，２，９，１１

で，３進数表記では

　　０＝０００(3)

　　２＝００２(3)

　　９＝１００(3)

　１１＝１０２(3)

［３］11Ck＝２　　（ｍｏｄ３）となるｋは

　　ｋ＝１，１０

で，３進数表記では

　　１＝００１(3)

　１０＝１０１(3)

　［２］と［３］では１１＝１０２(3)と同じ桁で大小逆転が起こらないが，両者の違いをどのようにして決定できるだろうか？　結論を先にいうと［３］ではある桁で

　　２

　　１

が起こっている．その個数が偶数か奇数かを使って判別できるのである．

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　リュカの定理（ｍｏｄ２）のｍｏｄ３版であるが，

［１］３進数表示のｎとｋの同じ桁で大小逆転が起こっている場合，

　　nCk＝０　　（ｍｏｄ３）となる

［２］大小逆転が起こらず，

　　２

　　１

の個数が偶数の場合，

　　nCk＝１　　（ｍｏｄ３）となる

［３］大小逆転が起こらず，

　　２

　　１

の個数が奇数の場合，

　　nCk＝２　　（ｍｏｄ３）となる

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