■パスカルの三角形とフェルマー数
パスカルの三角形では先頭と最後が常に１となり，その間の数値は前の行の連続した数値を加えていくことに得られる．
[1] パスカルの三角形にはいろんなことがいっぱい詰まっている．先頭の列は常に１となり，その隣の斜めの列には自然数１，２，３，４，・・・，３番目の斜めの列には三角数１，３，６，１０，・・・．
三角数Ｔnも再帰的（同じ規則を反復的に実行する）に書くと，
Ｔn＝Ｔn-1＋ｎ，
１＋２＝３，３＋３＝６，６＋４＝１０，１０＋５＝１５，・・・
また，三角数の和は
ΣＴn＝ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）／６＝１，４，１０，２０，・・・
となり，４番目の斜めの列に見出される．
[2]一方，フィボナッチ数は前２項の和と等しい．どちらも再帰的（同じ規則を反復的に実行する）というわけである．
パスカルの三角形になだらかな斜線を引いて，斜線上に並ぶ数の和をとればフィボナッチ数が順番に現れる．
１＋１＝２，１＋２＝３，１＋３＋１＝５，１＋４＋３＝８，１＋５＋６＋１＝１３，・・・
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[3]パスカルの三角形において、偶数を０、奇数を1に置き換える。これを２進数で表すとフェルマー数を生成する。
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[1] １ １
[2] １ ０ １
[3] １ １ １ １
[4] １ ０ ０ ０ １
[5] １ １ ０ ０ １ １
[6] １ ０ １ ０ １ ０ １
[7] １ １ １ １ １ １ １ １
[1]2+1=3=2^2-1=F0
[2]4+1=5=2^2+1=F1
[3]8+4+2+1=15=2^4-1=F0F1
[4]16+1=17=2^4+1=17=2^4+1=F2
[5]32+16+2+1=51=3・17=(2+1)(2^4+1)=F0F2
[6]64+16+4+1=85＝5・17=(2^2+1)(2^4+1)=F1F2
[7]128+64+32+1+8+4+2+1=255=2^8-1=F0F1F2
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[07] １ １ １ １ １ １ １ １
[08] １ ０ ０ ０ ０ ０ ０ ０ １
[09] １ １ ０ ０ ０ ０ ０ ０ １ １
[10] １ ０ １ ０ ０ ０ ０ ０ １ ０ １
[11] １ １ １ １ ０ ０ ０ ０ １ １ １ １
[12] １ ０ ０ ０ １ ０ ０ ０ １ ０ ０ ０ １
[13] １ １ ０ ０ １ １ ０ ０ １ １ ０ ０ １ １
[14] １ ０ １ ０ １ ０ １ ０ １ ０ １ ０ １ ０ １
[15] １ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １ １
[7]128+64+32+1++8+4+2+1=255=2^8-1=F0F1F2
[8]256+1=2^8+1=257=2^8+1=F3
[9]512+256+2+1＝3・257=(2+1)(2^8+1)=F0F3
[10]1024+256+4+1=5・257=(2^2+1)(2^8+1)=F1F3
[11]2048+1024+512+256+8+4+2+1=15・257=3・5・(2^8+1)=F0F1F3
[12]4096+256+16+1=17・257=(2^4+1)(2^8+1)=F2F3
[13]8192+4096+512+256+32+16+2+1=51・257=(2+1)(2^4+1)(2^8+1)=F0F2F3
[14]16384+4096+1024+256+64+16+4+1=85・257=(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)=F1F2F3
[15]65535=2^16-1=F0F1F2F3
すべてフェルマー数の積で表現できる。
[n=2^k-1]F0F1・・・Fk-1
[n=2^k]Fk
・・・・・・・・・・・・・この間に2^(k)-1個あるが、(F0からFk-1の組み合わせ)FKが入る。
・・・・・・・・・・・・・(k,1)+(k,2)+・・・+(k,k)=2^(k)-1
[n=2^(k+1)]=Fk+1
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