１　　１　　　　　　　　　　　　　　　　　奇数２，偶数０

１　　２　　１　　　　　　　　　　　　　　奇数２，偶数１

１　　３　　３　　１　　　　　　　　　　　奇数４，偶数０

１　　４　　６　　４　　１　　　　　　　　奇数２，偶数３

１　　５　　10　　10　　５　　１　　　　　奇数４，偶数２

１　　６　　15　　20　　15　　６　　１　　奇数４，偶数３

　パスカルの三角形のｎ行の奇数と偶数の割合を計算する．ｎ→∞のとき，奇数と偶数の比は０に近づく．　

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（Ｑ）（ａ＋ｂ）^nの二項展開の係数は，ｎが２^k−１の形であるとき，そのときに限りすべて奇数となることを証明せよ．

（Ａ）（ａ＋ｂ），（ａ＋ｂ）^2，・・・，（ａ＋ｂ）^n-1に対して成り立っていると仮定して，（ａ＋ｂ）^nに対しても成り立つことを証明する．

　両端の１を除くｎ−１個の二項係数は

　　ｎ／１＝ｎ，ｎ（ｎ−１）／１・２，・・・，ｎ（ｎ−１）・・・１／１・２・・・（ｎ−１）＝ｎ

　これらがすべて奇数であるための必要十分条件は

［１］両端のｎが奇数であること

［２］残りの数の分母、分子から奇数を取り去って作られる数が奇数であることである．

　ｎ＝２ｍ＋１とおけば，これらの数は

　　ｍ／１＝ｍ，ｍ（ｍ−１）／１・２，・・・，ｍ（ｍ−１）・・・１／１・２・・・（ｍ−１）＝ｍ

で表される．ｍ＜ｎであるから，このｍ−１個の数はｍが２^k-1−１の形であるとき，そのときに限りすべて奇数となる．

　　ｎ＝２ｍ＋１＝２（２^k-1−１）＋１＝２^k−１

より，ＱＥＤ．

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［１］ｎ＝ｐのとき，nＣmはｐの倍数である

　両端nＣ0＝nＣn＝１ですから，両端以外のnＣm（１≦ｍ≦ｎ−１）について考えます．ｎ＝ｐのとき

　　pＣm＝ｐ！／ｍ！（ｐ−ｍ）！

１≦ｍ≦ｐ−１，１≦ｐ−ｍ≦ｐ−１より，分母は素因数ｐを含んでいない．よって，pＣmはｐの倍数である．

［２］ｎ＝２^kのとき，nＣmは偶数である

　　（ａ＋ｂ）^2＝ａ^2＋｛係数が偶数の項｝＋ｂ^2

　　｛（ａ＋ｂ）^2｝^2＝ａ^4＋｛係数が偶数の項｝＋ｂ^4

　　｛（ａ＋ｂ）^4｝^2＝ａ^8＋｛係数が偶数の項｝＋ｂ^8，・・・

数学的帰納法より，nＣmは偶数である

［３］ｎ＝２^k−１のとき，nＣmは奇数である

　［２］より，n+1Ｃmは偶数である．

　　n+1Ｃm＝nＣm-1＋nＣm

　　１＋nＣ1＝偶数→nＣ1は奇数

　　nＣ1＋nＣ2＝偶数→nＣ2は奇数，・・・

よって，nＣmは奇数である．

　さらに，nＣmがすべては奇数になるのは，ｎ＝２^k−１のときに限るというのが冒頭の命題です．実際，他の行には偶数があるのですが，

［４］ｎ＝２^kのとき，両端以外のnＣm，２^k−１個はすべて偶数である

［５］ｎ＝２^k＋１のとき，真ん中のnＣm，２^k−２個はすべて偶数である

［６］ｎ＝２^k＋２のとき，真ん中のnＣm，２^k−３個はすべて偶数である

・・・・・・・・・・・・・・・

［７］ｎ＝２^k+1−２＝２^k＋２^k−２のとき，真ん中のnＣm，２^k−（２^k−１）＝１個はすべて偶数である

［８］nＣmがすべては奇数になるのは，ｎ＝２^k−１のときだけ

ということになります．

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【まとめ】

　nＣm（ｍ＝０〜ｎ）がすべては奇数になるのは，ｎ＝２^k−１のときに限る．さらに，ｋ＞１に対してnＣm（ｍ＝１〜ｎ−１）がｋで割り切れるための必要十分条件は，ｋが素数であって，ｎ＝ｋ^mの形に書けるときに限る．

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[1]　　　　　　　　　　　　　１　　　１

[2]　　　　　　　　　　　１　　　０　　　１

[3]　　　　　　　　　１　　　１　　　１　　　１

[4]　　　　　　　１　　　０　　　０　　　０　　　１

[5]　　　　　１　　　１　　　０　　　０　　　１　　　１　

[6]　　　１　　　０　　　１　　　０　　　１　　　０　　　１

[7]　１　　　１　　　１　　　１　　　１　　　１　　　１　　　１　

どの行も2^a3^b+1のなるはずである。

[1]３=2^2-1

[2]4+1=5=2^2+1

[3]8+4+2+1=15=2^4-1

[4]16+1=17=2^4+1=17=2^4+1

[5]32+16+2+1=51=3・17=(2+1)(2^4+1)

[6]64+16+4+1=85＝5・17=(2^2+1)(2^4+1)

[7]128+64+32+1+8+4+2+1=2^8-1

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[07]　　　　　　　　　　　　　　　　　１　　　１　　　１　　　１　　　１　　　１　　　１　　　１

[08]　　　　　　　　　　　　　　　１　　　０　　　０　　　０　　　０　　　０　　　０　　　０　　　１

[09]　　　　　　　　　　　　　１　　　１　　　０　　　０　　　０　　　０　　　０　　　０　　　１　　　１

[10]　　　　　　　　　　　１　　　０　　　１　　　０　　　０　　　０　　　０　　　０　　　１　　　０　　　１

[11]　　　　　　　　　１　　　１　　　１　　　１　　　０　　　０　　　０　　　０　　　１　　　１　　　１　　　１

[12]　　　　　　　１　　　０　　　０　　　０　　　１　　　０　　　０　　　０　　　１　　　０　　　０　　　０　　　１

[13]　　　　　１　　　１　　　０　　　０　　　１　　　１　　　０　　　０　　　１　　　１　　　０　　　０　　　１　　　１ 　

[14]　　　１　　　０　　　１　　　０　　　１　　　０　　　１　　　０　　　１　　　０　　　１　　　０　　　１　　　０　　　１

[15]　１　　　１　　　１　　　１　　　１　　　１　　　１　　　１　　　１　　　１　　　１　　　１　　　１　　　１　　　１　　　１　

[7]128+64+32+1++8+4+2+1=2^8-1

[8]256+1=2^8+1=257=2^8+1

[9]512+256+2+1＝3・257=(2+1)(2^8+1)

[10]1024+256+4+1=5・257=(2^2+1)(2^8+1)

[11]2048+1024+512+256+8+4+2+1=15・257=3・5・(2^8+1)

[12]4096+256+16+1=17・257=(2^4+1)(2^8+1)

[13]8192+4096+512+256+32+16+2+1=51・257=(2+1)(2^4+1)(2^8+1)

[14]16384+4096+1024+256+64+16+4+1=85・257=(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)

[15]2^16-1

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