分割数p(n)を評価する問題は数論において研究されていて，ラマヌジャンが予想した注目すべき漸近近似式

　　p(n)　〜　1/4n√(3)exp(π√(2n/3))

は，１９１８年，ハーディーとラマヌジャンによって，円周法を用いて証明が与えられています．

　（その３）では

　　exp(2√n)/exp(5)n^2≦p(n)≦exp(π√(2n/3))

したがって，十分大きなｎに対しては

　　exp(c1√n)≦p(n)≦exp(c2√n)

となる評価が得られたことになります．

　ラマヌジャンの結果より粗いのですが，関数の増加に対するオーダーはわかります．今回のコラムではこれよりももっと粗いp(n)の上界

　　p(n)＜exp(3√n)

を示すことにしましょう．

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【１】分割数の漸近挙動

　分割関数の母関数

　　f(x)=Π(1-x^n)^(-1)={(1-x)(1-x^2)･･･(1-x^n)･･･}^(-1)

　　　　=Σp(n)x^n=1+p(1)x+p(2)x^2+p(3)x^3+･･･

の対数をとると

　　lnf(x)=-ln(1-x)-ln(1-x^2)-ln(1-x^3)-･･･

=(x+x^2/2+x^3/3+･･･)+(x^2+x^4/2+x^6/3+･･･)+(x^3+x^6/2+x^9/3+･･･)+･･･

=(x+x^2+x^3+･･･)+(x^2+x^4+x^6+･･･)/2+(x^3+x^6+x^9+･･･)/3+･･･

=x/(1-x)+x^2/(1-x^2)/2+x^3/(1-x^3)/3+･･･

　ここで，x^n/(1-x^n)　　lnf(x)=x/(1-x){1+1/2^2+1/3^2+･･･}<2x/(1-x)

lnp(n)ここで，x=(n+√n)/n+3√n)とおくと，p(n)＜exp(3√n)

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