【７】分割数の近似式

　分割関数p(n)は整数値をとりますが，分割数を表す簡単な公式はありません．しかし，ラマヌジャンが予想した注目すべき近似式が知られています．

　　p(n)　〜　1/4n√(3)exp(π√(2n/3))

　無限乗積のままでは扱いにくいので，有限乗積

　　fn(x)=Π(1-x^n)^(-1)

を使ってp(n)を評価してみましょう．

［１］上界について

　すべての（０，１）なるｘに対して

　　p(n)≦fn(x)/x^n=1/x^nΠ(1-x^n)^(-1)

が成り立ちます．この右辺の値がなるべく小さくなるようにｘを選びたいのですが，まず対数をとると

　　lnp(n)≦-nlnx-Σln(1-x^k)≦-nlnx+x/(1-x)Σ1/k^2

　ここで，

　　Σ1/k^2＝ζ(2)=π^2/6

ですから

　　lnp(n)≦-nlnx+π^2/6x/(1-x)

　　u=x/(1-x)　　u=0~∞

と変数変換すると

　　lnp(n)≦-nln(1+1/u)+π^2/6u

また，不等式1+x≦exp(x)よりln(1-1/u)≦1/uですから，

　　lnp(n)＜-nln(1+1/u)+π^2/6u≦n/u+π^2/6u

　　n/u+π^2/6u

が最小となるのはn/u=π^2/6uすなわちu=√(6n)/πのときで，

　　lnp(n)＜π√(2/3n)

より，

　　p(n)＜exp(π√(2/3n))

が成り立つことが証明されます．

　この上界は

　　p(n)　〜　1/4n√(3)exp(π√(2n/3))

の指数部分と一致し，かなりよい評価であることがわかります．

［２］下界について

　自然数ｎを順序つきｋ分割する総数は

　　(n-1)Ｃ(k-1)＝(n-1,k-1)

また，順序のないｋ分割のそれぞれから高々ｋ！個の順序つきｋ分割が作れますから，

　　p(n)≧(n-1,k-1)/k!≧(n-1)(n-2)･･･(n-k+1)/(k!)^2

が成り立ちます．

　ｋを１増やせば分母は(k+1)^2倍され，分子は(n-k)倍されるので，最良の下界を与えるためには(k+1)^2≒n-kより

　　ｋ≒［√ｎ］

　このとき，

　　(n-1)(n-2)･･･(n-k+1)≧(n-k)^(k-1)=n^(k-1)(1-k/n)^(k-1)

ｋ≒［√ｎ］より，k/n≦1/kですから

　　(1-k/n)^(k-1)≧(1-1/k)^(k-1)

したがって，

　　n^(k-1)(1-k/n)^(k-1)≧n^(k-1)(1-1/k)^(k-1)≧ｎ^k／ｅｎ

　スターリングの公式の漸近評価，

　　ｋ！≦ｅｋ（ｋ／ｅ）^k

が成り立つので，

　　p(n)≧(n/k^2)^kexp(2k-3)/nk^2≧exp(2k-3)/n^2≧exp(2√n)/exp(5)n^2

　以上により，

　　exp(2√n)/exp(5)n^2≦p(n)≦exp(π√(2/3n))

小生は事前に

　　exp(π√(2/3n))/n^2≦p(n)≦exp(π√(2/3n))

のような形を予想していたのですが，ほぼ一致する結果です．

　したがって，十分大きなｎに対しては

　　exp(c1√n)≦p(n)≦exp(c2√n)

となる評価が得られたことになります．ラマヌジャンの結果より粗いのですが，関数の増加に対するオーダーがわかればそれでよしとしましょう．

［参］マトウシェク・ネシャトリル「離散数学への招待」シュプリンガー・フェアラーク東京

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　　p(n)＜exp(3√n)

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