x^2+y^2+z^2+x+y+z=1は整数解を持たない

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4x^2+4y^2+4z^2+4x+4y+4z=4

(2x+1)^2+(2y+1)^2+(2z+1)^2=7

8n+7という形の数は3平方数の和としてあらわすことはできないので、これは矛盾である

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一方、8n+3という形の数は3つの奇数の平方数の和としてあらわすことができる。

(2x+1)^2+(2y+1)^2+(2z+1)^2=8n+3

x(x+1)/2+y(y+1)/2+z(z+1)/2=n

すなわち、どの整数も３個以下の三角数の和としてあらわすことができる。

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m=n(2n+1)のとき

m^2+(m+1)^2+・・・+(m+n)^2=(m+n+1)^2+(m+n+2)^2+・・・+(m+2n)^2

n=1,m=3→3^2+4^2=5^2

n=2,m=10→10^2+11^2+12^2=13^2+14^2

n=3,m=21→21^2+22^2+23^2+24^2=25^2+26^2+27^2

n=4,m=36→36^2+37^2+38^2+39^2+40^2=41^2+42^2+43^2+44^2

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8n+5という形の数は5つの奇数の平方数の和としてあらわすことができる。

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