■不思議な4平方和恒等式(その4)

 不思議な4平方和恒等式を紹介したい.

===================================

[1]

 6(a^2+b^2+c^2+d^2)

=(a+b)^2+(a−b)^2+(c+d)^2+(c−d)^2

+(a+c)^2+(a−c)^2+(b+d)^2+(b−d)^2

+(a+d)^2+(a−d)^2+(b+c)^2+(b−c)^2

===================================

[2]

 6(a^2+b^2+c^2+d^2)^2

=(a+b)^4+(a−b)^4+(c+d)^4+(c−d)^4

+(a+c)^4+(a−c)^4+(b+d)^4+(b−d)^4

+(a+d)^4+(a−d)^4+(b+c)^4+(b−c)^4

===================================

[雑感]

 2(a^2+b^2)

=(a+b)^2+(a−b)^2

 しかし,

 2(a^2+b^2)^2≠(a+b)^4+(a−b)^4

 2平方和版は成り立たないわけであるから,6平方和版,8平方和版も成り立たないと思われる.

===================================

8(a^2+b^2+c^2+d^2+1)=(2a+1)^2+(2a-1)^2+(2b+1)^2+(2b-1)^2+(2c+1)^2+(2c-1)^2+(2d+1)^2+(2d-1)^2

この恒等式より8の倍数が8つの奇数の平方和としてあらわされることがわかる

===================================

(a+1)(b+1)(c+1)+(a-1)(b-1)(c-1)=2(a+b+c+abc)

===================================