Nを２通りの異なる方法で，２つの平方数の和として表すことができれば

N=A^2+B^2=(A+B)^2-2AB

N=C^2+D^2=(C+D)^2-2CD

A^2-C^2=-B^2+D^2

A^2+C^2=2N-B^2-D^2

{(A-C)^2+(B-D)^2}{(A+C)^2+(B-D)^2}=(A^2-C^2)^2+{(A-C)^2+(A+C)^2}(B-D)^2+(B-D)^4

=(A^2-C^2)^2+2{A^2+C^2}(B-D)^2+(B-D)^4

=(B^2-D^2)^2+2{2N-B^2-D^2}(B-D)^2+(B-D)^4

=(B+D)^2(B-D)^2+2{2N-B^2-D^2}(B-D)^2+(B-D)^4

{(A-C)^2+(B-D)^2}{(A+C)^2+(B-D)^2}/(B-D)^2

=(B+D)^2+2{2N-B^2-D^2}+(B-D)^2

=4N

N={(A-C)^2+(B-D)^2}{(A+C)^2+(B-D)^2}/4(B-D)^2

である。（オイラー、1745年）

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さらに、オイラーは，

　Nを２通りの異なる方法で，２つの平方数の和として表すことができれば

N=a^2+kb^2

N=c^2+kd^2

N=(km^2+n^2)(kr^2+s^2)/4, a+c=kmr,a-c=ns, d+b=ms,d-b=nr

と因数分解されることを示した。

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a=(kmr+ns)/2, b=(ms-nr)/2, c=(kmr-ns)/2, d=(ms+nr)/2

N=a^2+kb^2=c^2+kd^2

={(Kmr)^2+k(nr)^2+(ns)^2+k(ms)^2}/4=(km^2+n^2)(kr^2+s^2)/

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34889=157^2+10・32^2＝143^2+10・38^2

kmr=a+c=10・30, ns=a-c=14,ms=d+b=70,nr=d-b=6

m=10,n=2,r=3,s=7(m=5,n=1,r=6,s=14)

いずれにしても34889=251・139

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