Nを２通りの異なる方法で，２つの平方数の和として表すことができれば

N=A^2+B^2=(A+B)^2-2AB

N=C^2+D^2=(C+D)^2-2CD

A^2-C^2=-B^2+D^2

A^2+C^2=2N-B^2-D^2

{(A-C)^2+(B-D)^2}{(A+C)^2+(B-D)^2}=(A^2-C^2)^2+{(A-C)^2+(A+C)^2}(B-D)^2+(B-D)^4

=(A^2-C^2)^2+2{A^2+C^2}(B-D)^2+(B-D)^4

=(B^2-D^2)^2+2{2N-B^2-D^2}(B-D)^2+(B-D)^4

=(B+D)^2(B-D)^2+2{2N-B^2-D^2}(B-D)^2+(B-D)^4

{(A-C)^2+(B-D)^2}{(A+C)^2+(B-D)^2}/(B-D)^2

=(B+D)^2+2{2N-B^2-D^2}+(B-D)^2

=4N

N={(A-C)^2+(B-D)^2}{(A+C)^2+(B-D)^2}/4(B-D)^2

である。（オイラー、1745年）

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　たとえば，

N=2501=50^2+1^2=49^2+10^2, A=50, B=1, C=49, D=1は

2501=(1^2+9^2)(99^2+9^2)/4・9^2=41・61

2通りの異なる方法で，２つの平方数の和として表すことができれば,その数は合成数である

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493＝18^2+13^2=22^3+3^2=17・29

37673＝187^2+52^2=173^2+88^2

37673=(14^2+36^2)(360^2+36^2)/4・36^2=373・101

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