複素数ｘ＝ａ＋ｂｉとｙ＝ｃ＋ｄｉの積

　　ｘｙ＝（ａ＋ｂｉ）（ｃ＋ｄｉ）＝（ａｃ−ｂｄ）＋（ａｄ＋ｂｃ）ｉ

は同じ空間内のベクトルとして表されますが，

（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）＝（ａｃ−ｂｄ）^2＋（ａｄ＋ｂｃ）^2

より，

　　｜ｘ｜・｜ｙ｜＝｜ｘｙ｜

が満たされていることがわかります．

　フィボナッチの等式としてよく知られている恒等式

（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）＝（ａｃ−ｂｄ）^2＋（ａｄ＋ｂｃ）^2

（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）＝（ａｃ＋ｂｄ）^2＋（ａｄ−ｂｃ）^2

は簡単に確認できます．

　この公式は２つの整数がともに平方数の和の形をしているなら，その２数の積も平方数で表されることを示していて，複素数と２平方和問題との関連を示しています．

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　Nを２通りの異なる方法で，２つの平方数の和として表すことができれば

N=A^2+B^2=(A+B)^2-2AB

N=C^2+D^2=(C+D)^2-2CD

A^2-C^2=-B^2+D^2

A^2+C^2=2N-B^2-D^2

{(A-C)^2+(B-D)^2}{(A+C)^2+(B-D)^2}=(A^2-C^2)^2+{(A-C)^2+(A+C)^2}(B-D)^2+(B-D)^4

=(A^2-C^2)^2+2{A^2+C^2}(B-D)^2+(B-D)^4

=(B^2-D^2)^2+2{2N-B^2-D^2}(B-D)^2+(B-D)^4

=(B+D)^2(B-D)^2+2{2N-B^2-D^2}(B-D)^2+(B-D)^4

{(A-C)^2+(B-D)^2}{(A+C)^2+(B-D)^2}/(B-D)^2

=(B+D)^2+2{2N-B^2-D^2}+(B-D)^2

=4N

N={(A-C)^2+(B-D)^2}{(A+C)^2+(B-D)^2}/4(B-D)^2

である。（オイラー、1745年）

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　たとえば，

N=2501=50^2+1^2=49^2+10^2, A=50, B=1, C=49, D=1は

2501=(1^2+9^2)(99^2+9^2)/4・9^2=41・61

2通りの異なる方法で，２つの平方数の和として表すことができれば,その数は合成数である

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