n→∞のとき

(1+1/2+・・・+1/n-logn)→γ

Hn=1+1/2+・・・+1/n→logn+γ+1/(2n)

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帰納法により

H1+H2+・・・+Hn=(n+1)(Hn+1-1)

が示される。

H1＝1,H2=3/2,H2=11/6,H4=25/12,H5=137/60,・・・

H1=2(3/2-1)=2(H2-1)

H1+H2+・・・+Hk=(k+1)(Hk+1-1)を仮定すると

H1+H2+・・・+Hk+Hk+1=(k+1)(Hk+1-1)+Hk+1

=(k+2)(Hk+1+1/(k+1))-k-2

=(k+2)(Hk+2-1)

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log(n!)=log1+log2+・・・logn

〜H1+H2+・・・Hn-nγ-1/2・Hn

=(n+/2)-n-nγ

〜(n+1/2)(logn+γ)-n-nγ

〜(n+1/2)(logn)-n

よって

n!〜n^(n+1/2)exp(-n)

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