π／４＝１−１／２＋１／５−１／７＋１／９−１／１１＋・・・

＝１＋１／３）^-1（１−１／５）^-1（１＋１／７）^-1（１＋１／１１）^-1（１−１／１３）^-1・・・

3/4・5/4・7/8・11/12・13/12・17/16・19/20・・・＝Σ(-1)^n/(2n+1)=arctan1=π/4

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　　π^2／６＝１＋１／２^2＋１／３^2＋１／４^2＋１／５^2＋・・・

リーマン・ゼータ関数の性質から

(1+(1/2)^2+(1/3)^2+・・・)(1-(1/2)^2)(1-(1/3)^2)(1-(1/5)^2)(1-(1/7)^2)・・・=1

π^2/6・(1-(1/2)^2)(1-(1/3)^2)(1-(1/5)^2)(1-(1/7)^2)・・・=1

したがって、(1-(1/2)^2)(1-(1/3)^2)(1-(1/5)^2)(1-(1/7)^2)・・・=6/π^2

1/2・3/2・2/3・5/3・4/5・6/5・6/7・8/7・・・＝6/π^2

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１−１／ｋ^2＝（ｋ−１）（ｋ＋１）／ｋ^2より，

　したがって，

　　（１−１／２^2）（１−１／３^2）（１−１／４^2）・・・＝

1/2・3/2・2/3・4/3・3/4・5/4・・・・＝１／２

ここで，

　　（１−１／２^2）（１−１／４^2）（１−１／６^2）・・・

　　＝（２−１）（２＋１）／２^2・（４−１）（４＋１）／４^2・（６−１）（６＋１）／６^2・・・

　　＝１／２・３／２・３／４・５／４・５／６・７／６・・・

　　＝２／π　　（ウォリス）

であるから，

　　（１−１／３^2）（１−１／５^2）（１−１／７^2）・・・

　　＝（３−１）（３＋１）／３^2・（５−１）（５＋１）／５^2・（７−１）（７＋１）／７^2・・・

　　＝２／３・４／３・４／５・６／５・６／７・８／７・・・

　　＝π／４

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