山�ｱ憲久さん（積み木インテリアギャラリー）よりメールをいただいた。

英語版wiki の記載です。

The following points are vertices of a tetartoid pentagon under tetrahedral symmetry:

(a, b, c); (-a, -b, c); (-n/d1, -n/d1, n/d1?); (-c, -a, b); (-n/d2, n/d2, n/d2),

under the following conditions:[6]

0 ≦ a ≦ b ≦ c,

n = a2c - bc2,

d1 = a2 - ab + b2 + ac - 2bc,

d2 = a2 + ab + b2 - ac - 2bc,

nd1d2 ≠ 0.

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この座標で平面性が保たれるのだろう。

正十二面体の条件

a=0,b=(3-√5)/2,c=1を入れると

ちゃんと正十二面体の解が得られたので、座標やプログラムはあっているはずである。

ところが、緑の頂点の条件を内角90°、二面角90°にすると五角形は四角形に退化してしまう。

これも、それも正しい結果と思われます。

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n/d1=e,n/d2=fとおくと

緑頂点(f,f,f)

黄頂点(e,-e,e)

緑頂点をとりかこむ白頂点

(a,b,c)

(b,c,a)

(c,a,b)

黄頂点をとりかこむ白頂点

(-a,-b,c)

(b,-c,-a)

(c,a,b)

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(a,b,c)

(-a,-b,c)

(c,a,b)を通る平面x+By+Cz=-Dを考える。=D+yB+zC=-x

D+bB+cC=-a

D -bB+cC=a

D+aB+bC=-c

Δ=-b^2+bc+ac+bc-b^2-ac=-2b^2+2bc

-a+bB+cC

a -bB+cC

-c+aB+bC

D=(ab^2-bc^2+a^2c-bc^2-ab^2+a^2c)/Δ

D=(-2bc^2+2a^2c)/Δ

D -aB+cC

D+aB+cC

D -cB+bC

B=(ab-ac-c^2-ac+ab+c^2)/Δ

B=(2ab-2ac)/Δ

D+bB -aC

D -bB+aC

D+aB -cC

C=(bc+ab-a^2-ab+bc-a^2)/Δ

C=(2bc-2a^2)/Δ

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この平面の方程式は

x+(2ab-2ac)/Δy+(2bc-2a^2)/Δz=-(-2bc^2+2a^2c)/Δ

(x,x,x)を通るから

{1+(2ab-2ac)/Δ+(2bc-2a^2)/Δ}x=-(-2bc^2+2a^2c)/Δ

{(-2b^2+2bc)+(2ab-2ac)+(2bc-2a^2)}x=-(-2bc^2+2a^2c)

{-2a^2-2b^2+4bc)+(2ab-2ac)}x=-(-2bc^2+2a^2c)

{a^2+b^2-2bc)+(-ab+ac)}x=(-bc^2+a^2c)

n = a2c - bc2,

d1 = a2 - ab + b2 + ac - 2bc,

d2 = a2 + ab + b2 - ac - 2bc,

これはn/d2でなく,n/d1である.緑頂点(e,e,e)

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(x,-x,x)を通るから

{1+(2ab-2ac)/Δ-(2bc-2a^2)/Δ}x=-(-2bc^2+2a^2c)/Δ

{(-2b^2+2bc)-(2ab-2ac)+(2bc-2a^2)}x=-(-2bc^2+2a^2c)

{-2a^2-2b^2+4bc)-(2ab-2ac)}x=-(-2bc^2+2a^2c)

{a^2+b^2-2bc)+(ab-ac)}x=(-bc^2+a^2c)

n = a2c - bc2,

d1 = a2 - ab + b2 + ac - 2bc,

d2 = a2 + ab + b2 - ac - 2bc,

これはn/d1でなく,n/d2である.黄頂点(f,-f,f)

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