古代エジプトでは，分数を分子が１である相異なる分数の和として表すことが正則的とされていた．たとえば

　　２／８３＝１／６０＋１／３３２＋１／４１５＋１／４９８

　エルデシュ・シュトラウス予想とは

　　４／ｎ＝１／ｘ＋１／ｙ＋１／ｚ，ｎ≧２

は解をもつというものである（未解決である）．

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　分子が１である分数を単位分数と呼びます．古代エジプト人は分数を表すのに，互いに異なる単位分数の和として表しました．たとえば，５／７は

　　５／７＝１／７＋１／７＋１／７＋１／７＋１／７

ではなく，互いに異なる単位分数の和ですから，３つの単位分数を用いて

　　５／７＝１／２＋１／５／１／７０

と書くことができます．

　一般に，有理数を単位分数の和に表現する問題

　　ｍ／ｎ＝１／ｘ1＋１／ｘ2＋・・・＋１／ｘk

は多くの問題を派生させます．

　ここでは単位分数を３項使って有理数を表現することを問題にします．エルデシュとシュトラウスは方程式

　　４／ｎ＝１／ｘ＋１／ｙ＋１／ｚ

がｎ＞１であるすべての正の整数について解をもつと予想しました．

　シェルピンスキーは，有理数の単位分数への分解について

　　５／ｎ＝１／ｘ＋１／ｙ＋１／ｚ

は，２以上のあらゆる整数ｎについて整数解ｘ，ｙ，ｚをもつと予想しました．

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次の例は何通りもの３つの単位分数の和として書き表すことができる。

4/625=1/160+1/6667+1/33340000

4/625=1/200+1/715+1/715000

4/625=1/240+1/448+1/840000

4/625=1/250+1/417+1/5211250

4/625=1/375+1/268+1/502500

4/625=1/450+1/240+1/90000

4/625=1/500+1/228+1/71250

4/625=1/750+1/198+1/61875

4/625=1/250+1/500+1/2500

4/nの形のすべての分数は相異なる３つの単位分数の和になるというのが、エルデシュ・シュトラウス予想である。

エルデシュ・シュトラウス予想を証明するにはｎが素数の場合だけを考えれば十分である。

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