四角形が円に内接するとき、辺の長さを順にs1,s2,s3,s4、２本の対角線の長さをd1,d2とすると

s1s3+s2s4=d1d2

逆も成り立つから、四角形が円に内接するかかどうかを簡単に判定することができる。

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四角形の４つの頂点を複素平面上の複素数a,b,c,dと考えると

s1s3+s2s4=d1d2

は

|a-b||c-d|+|b-c|d-a|=|a-c||b-d|

4点が同一円周上にあることを特徴づけるのに複素解析では複比 　

cr(a,b,c,d)=(a-c)(b-d)/(a-d)(b-c)

が用いられる。複比が実数になるとき、そしてその時に限り、同一円周上にある

[|a-b||b-c|~|c-d||d-a|~|a-b|~|b-c||c-d|~|d-a|]^2

=-4|a-d|^4|b-c|^4(Imcr(a,b,c,d))^2

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