フィボナッチ数を眺めていると

x^2-xy-y^2=±1

x^2-3xy+y^2=±1

x^2-7xy+y^2=±9

などの関係式に出くわす。

x^2-xy-y^2=±1はフィボナッチ数列を双曲線上に配列させること

x^2-3xy+y^2=±1

x^2-7xy+y^2=±9はフィボナッチ数列を楕円上に配列させることに対応している

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それで思いだした問題がある。

1/7＝0.142857

(1,4),(4,2),(2,8),(8,5),(5,7),(7,1)の６個の点を通る楕円

19x^2+36xy+41y^2-333x-531y+1638=0

を構成することができるのである。

一般に楕円の方程式は

ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0

で表され、その自由度は5である。すなわち、５個の点によって楕円が一つ決まる。したがって、与えられた6個の点を通る楕円は必ずしも存在するとはいえないのである。

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さらに驚かされるのは、６点(14,28),(42,85),(28,57),(85,71),(57,14),(71,42)

を通る楕円も存在する。その方程式は

-165104x^2+160804xy-41651y^2+8385498x-3836349y-7999600=0

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