フィボナッチ数を眺めていると

x^2-xy-y^2=±1

x^2-3xy+y^2=±1

x^2-7xy+y^2=±9

などの関係式に出くわす。

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x^2-y^2+xy=1 という双曲線が通る第１象限の格子点を並べると(1,1),(2,3),(5,8),(13,21),…となりフィボナッチ数列が浮かび上がります。

第４象限を見ると…,(-13,8),(-5,3),(-2,1),(-1,0)となり非正整数番に拡張したフィボナッチ数列が並びます。

これらの関係式のどれを使ってもよいのであるが、 フィボナッチ数生成関数

z=2xy^4+x^2y^3-2x^3y^2-y^5-x^4y+2y (Jones, 1975)

を構成することができるのである。

このレベルなら,なんとか高校生もついていけそうである。講演ではこのような話をしようと思っている。

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