チェビシェフは１８５２年に，十分大きなｘについてπ（ｘ）／（ｘ／ｌｏｇｘ）がｃ1＝０．９２１２９とｃ2＝１．１０５５５の間にあるという結果を得ています．

　　ｃ1ｘ／ｌｏｇｘ＜π（ｘ）＜ｃ2ｘ／ｌｏｇｘ

ｘ≧30なるｘをとれば、

c1=log(2^1/23^1/35^1/5/30^1/30),ｃ1＝０．９２１２９

c2=6c1/5,ｃ2＝１．１０５５５

となる。チェビシェフはガウスが予想した素数定理の証明についてかなりのことろまで接近したのである。

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もっと大雑把に言えば、チェビシェフは素数定理が証明されるよりも前に

　　0.9ｘ／ｌｏｇｘ＜π（ｘ）＜1.1ｘ／ｌｏｇｘ

を示したことになる。

　　0.9・10^99／99ｌｏｇ10＜π（10^99）＜1.1・10^99ｘ／99ｌｏｇ10

　　0.9・10^100／100ｌｏｇ10＜π（10^100）＜1.1・10^100ｘ／100ｌｏｇ10

より、100桁の素数の個数は

3.42・10^97＜π（10^100）-π（10^99）＜4.38・10^97

と評価される

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