チェビシェフは１８５２年に，十分大きなｘについてπ（ｘ）／（ｘ／ｌｏｇｘ）がｃ1＝０．９２１２９とｃ2＝１．１０５５５の間にあるという結果を得ています．

　　ｃ1ｘ／ｌｏｇｘ＜π（ｘ）＜ｃ2ｘ／ｌｏｇｘ

ｘ≧30なるｘをとれば、

c1=log(2^1/23^1/35^1/5/30^1/30),ｃ1＝０．９２１２９

c2=6c1/5,ｃ2＝１．１０５５５

となる。チェビシェフはガウスが予想した素数定理の証明についてかなりのことろまで接近したのである。

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ドゥザードは次の不等式を証明した。

　　ｘ／ｌｏｇｘ（１+０．０９２／ｌｏｇｘ）≦π（ｘ）≦ｘ／ｌｏｇｘ（１+１．２７６２／ｌｏｇｘ）

最初の≦はx≧599で成り立ち、第２の≦はx＞１で成り立つ

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