ｓｉｎ１°〜π/180〜1/57

ｓｉｎ３°〜π/60〜1/19

アリスタルコスのsin3°=1/19は正しい答えであったのです。

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ｓｉｎ１５°＝（√６−√２）／４

ｃｏｓ１５°＝（√６＋√２）／４

ｔａｎ１５°＝（√６−√２）／（√６＋√２）＝２−√３

１５°，７５°，９０°の直角三角形は、４：√６＋√２）：√６−√２）の比になっているというわけです。

ｓｉｎ１８°＝（√５−１）／４は覚えておいた方がいいかもしれません。

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　　ｓｉｎ３０°＝1/2ですが、ヘロンは正九角形の面積の導出において、中心角40°の弦は円の直径の1/3としている。

円の半径をrとすると,2ｒsin20°=2r/3であるから、正九角形の面積をもとめるために

　　ｓｉｎ２０°＝1/3

を用いていることになる。ヘロンはまた、円の面積を求めるためにπ=22/7を用いている。

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計算してみたところ

　　ｓｉｎ２０°＝0.34202

arcsin(1/3)=19.4712°であった。

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ヘロンは辺の長さaの正n角形の面積Anを

A3=13a^2/30,A5=5a^2/3,A7=43a^2/12,A9=51a^2/8

としている。　　ｓｉｎ２０°＝1/3とすると

A9=9√8a^2/4~9/4・17/6・a^2=51a^2/8

さらに√8〜17/6と平方根近似しているのである。

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半径をr、1辺の長さをaとすると

rsin(π/n)=a/2,r=a/(2sin(π/n))

S=n・a/2・rcos(π/n)=na^2/(4tan(π/n))

A3=3a^2/(4√3)→52√3＝90と近似している

A5=5a^2/(4(5-2√5)^1/2)→20(5-2√5)^1/2=15と近似している

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