１／１＝１／２＋１／６＋１／１２＋１／２０＋１／３０＋・・・＋１／ｎ（ｎ＋１）＋・・・

１／２＝１／３＋１／１２＋１／３０＋１／６０＋１／１０５＋・・・

１／３＝１／４＋１／２０＋１／６０＋１／１４０＋１／２８０＋・・・

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【１】ライプニッツの調和三角形

１／１

１／２　１／２

１／３　１／６　　１／３

１／４　１／１２　１／１２　　１／４

１／５　１／２０　１／３０　　１／２０　　１／５

１／６　１／３０　１／６０　　１／６０　　１／３０　　１／６

１／７　１／４２　１／１０５　１／１４０　１／１０５　１／４２　　１／７

１／８　１／５６　１／１６８　１／２８０　１／２８０　１／１６６　１／５６　　１／８

１／９　１／７２　１／２５２　１／５０４　１／６３０　１／５０４　１／２５２　１／７２　１／９

において，各数は下および右下の数の和である．たとえば，

　　１／２＝１／３＋１／６

　　１／３＝１／４＋１／１２

　　１／６＝１／１２＋１／１２

　パスカルの三角形では，一般項は（ｎ，ｒ）であるが，ライプニッツの調和三角形では１／（ｎ＋１）（ｎ，ｒ）になっていて，

　　１／（ｎ＋１）（ｎ，ｒ−１）＋１／（ｎ＋１）（ｎ，ｒ）＝１／ｎ（ｎ−１，ｒ−１）

より，各数は下および右下の数の和であることが証明される．

　それを無限に繰り返すと冒頭の級数が得られる．

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例えば、第３列の要素1/3,1/12,1/30は1/1,1/2,1/3をパスカルの三角形の第３列の要素3,6,10で割ることから生ずる。

各列がその左の列の要素の差からなるので、各列のある値までの要素の和は、直前列の最初と最後の値の差として求められる。

1/2+1/6+1/12=1/1-1/4

この規則は無限和まで拡張することができる

1/3+1/12+1/30+・・・=1/2

3をかけると

1/1+1/4+1/10+・・・=3/2

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