∫(0,∞)1/(1+x^6)dx=2π/3は間違いのようである。

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∫(0,∞)1/(1+x^2)dx=Γ(1-1/2)Γ(1/2)/2Γ(1)=π/2

∫(0,∞)1/(1+x^4)dx=Γ(1-1/4)Γ(1/4)/4Γ(1)

∫(0,∞)1/(1+x^6)dx=Γ(1-1/6)Γ(1/6)/6Γ(1)

岩波数学公式

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Γ(1/2)=(2π)^{1/2}/√2

Γ(1/3)Γ(2/3)=(2π)^{1}/√3

Γ(1/4)Γ(2/4)Γ(3/4)=(2π)^{3/2}/2

Γ(1/6)Γ(2/6)Γ(3/6)Γ(4/6)Γ(5/6)=(2π)^{5/2}/√6

Γ(1/4)Γ(2/4)Γ(2/4)=(2)^1/2(π)^{1}

∫(0,∞)1/(1+x^4)dx=π√2/4

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Γ(1/6)Γ(2/6)Γ(4/6)Γ(5/6)=(2π)^{2}/√3

Γ(1/6)Γ(5/6)=(2π)^1 <

∫(0,∞)1/(1+x^6)dx=2π/6・・・訂正

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∫(0,∞)1/(1+x^n)dx=π/n・cosecπ/n=1/n・B(1/n,(n-1)/n)

π/n・cosecπ/n=π/n・1/sin(π/n)

Γ(1-1/n)Γ(1/n)/nΓ(1)=1/n・B(1/n,(n-1)/n)である。

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Γ(2-1/n)Γ(1+1/n)/Γ(3)=B(2-1/n,1+1/ｎ)を求めることはできないだろうか？

Γ(3)=2Γ(2)=2

Γ(2-1/n)=(1-1/n)Γ(1-1/n)

Γ(1+1/n)=1/nΓ(1/n)

Γ(2-1/n)Γ(1+1/n)=(1-1/n)1/nΓ(1-1/n)Γ(1/n)

したがって、Γ(1-1/n)Γ(1/n)がわかればΓ(2-1/n)Γ(1+1/n)も計算可能である

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Γ(1/2)=(2π)^{1/2}/√2

Γ(1/3)Γ(2/3)=(2π)^{1}/√3

Γ(1/4)Γ(2/4)Γ(3/4)=(2π)^{3/2}/2

Γ(1/4)Γ(3/4)=(2)^{3/2}π/2＝(2)^1/2(π)^{1}

Γ(1/6)Γ(2/6)Γ(3/6)Γ(4/6)Γ(5/6)=(2π)^{5/2}/√6

Γ(1/6)Γ(2/6)Γ(4/6)Γ(5/6)=(2)^{5/2}π^2/√6

Γ(1/6)Γ(5/6)=(2)^{3/2}π√3/√6=(2π)^1

Γ(2-1/n)Γ(1+1/n)=(1-1/n)1/nΓ(1-1/n)Γ(1/n)

Γ(2-1/2)Γ(1+1/2)=(1-1/2)1/2Γ(1-1/2)Γ(1/2)=π/4

Γ(2-1/3)Γ(1+1/3)=(1-1/3)1/3Γ(1-1/3)Γ(1/3)=2(2π)^{1}/9√3

Γ(2-1/4)Γ(1+1/4)=(1-1/4)1/4Γ(1-1/4)Γ(1/4)=3(2)^1/2(π)^{1}/16

Γ(2-1/6)Γ(1+1/6)=(1-1/6)1/6Γ(1-1/6)Γ(1/6)=5(2π)^1/36

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