［Ｑ］目盛りのついていない長さ６の定規に（両端以外に）目盛りを２つ刻んで，長さ１から６まですべてはかれるようにするにはどうすればいいか？

［Ａ］目盛り間隔の配置を｛１，３，２｝，目盛りを｛０，１，４，６｝とする．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

　定規の場合に限らず，１からＬまですべてはかれるようにするための必要条件はどうなっているのだろうか？

　たとえば，１から６まですべてはかれる場合を考える．集合｛１，３，６｝の差分集合は｛１，３−１，６−３｝＝｛１，２，３｝である．

　　４＝１＋３

　　５＝２＋３

　　６＝１＋２＋３

だから，１から６まですべてはかれるのである．

{0=a1＜a2＜・・・＜ak+1}のai-aj(i＜j)が[0,n-1]の要素をすべて一意にしか表さないものが完全差集合である。完全差集合はn=k^2+k+1のときのみ存在しうる。

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

完全差分列とは

a1＜a2＜・・・＜ak＜ak+1＜・・・＜ap+1=p^2+p+1

で、その差分au-avが法p^2+p+1の０以外の剰余をちょうど１回表すようにできるかどうかである。

mod 7で{1,2,4}

mod 13で{1,2,5,7}

の完全差分集合が存在するのはn=p^2+p+1のときのみであり、完全差分集合を用いて整数生成定規を作成することができる。

{1,2,5,7}から１を引くと{0,1,4,6}が得られるが、これらを長さ６の定規の目盛りとすると、1,2,3,4,5,6のすべての長さを測ることができる。

長さnの定規にk+1個の目盛りを不完全定規でいろいろな条件を満たすものを考えることができる

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝