【１】イブン・クッラの公式

　ｐn＝３・２^n−１

　ｐn-1＝３・２^n-1−１

　ｑn＝９・２^2n-1−１

　ｐn，ｐn-1，ｑnがすべて素数となる整数ｎが存在すれば，ｐn・ｐn-1・２^nとｑn・２^nは親和数になる．

（ｎ＝２）→（ｐn，ｐn-1，ｑn）＝（１１，５，７１）→（２２０，２８４）は親和数

（ｎ＝４）→（１７２９６，１８４１６）は親和数・・・アルバンナが発見，フェルマーが再発見

（ｎ＝７）→（９３６３５８４，９４３７０５６）は親和数・・・デカルトが発見

【２】パガニーニの発見

　ところが，パガニーニはこの公式では発見できない（１１８４，１２１０）が２番目に小さい親和数であることを発見した．

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2ｐn-1+1=３・２^n−2+1=３・２^n−１=ｐn

すなわち、pn-1はソフィー・ジェルマン素数である。

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σ(m)=σ(n)=m+nのとき、親和数と呼ばれる。p,q,r,sが素数で、(2^n・pq,2^n・rs)型親和数は、たとえば

p=3・2^(n-1)-1

q=35・2^(n+1)-29

r=7・2^(n-1)-1

q=15・2^(n+1)-13

などであるが、しかし、これらの素数が同時に見つかることは非常にまれな事象である。

(2^n・pqr,2^n・stu)型親和数でも然り

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