(1+x)^n=1+nx+n(n-1)/2・x^2+n(n-1)(n-2)/6・x^3+・・・

n=1/2とおくと

(1+x)^1/2=1+x/2-1/8・x^2+1/16・x^3-5/128・x^4+・・・

1>>xのとき、

(1+x)^n〜1+nx

n=1/2,x→-xとおくと、

(1-x)^1/2〜1-1/2・x

(a^2-b)^1/2={a^2(1-b/a^2)}^1/2〜a(1-1/2・b/a^2)=a-1/2・b/a

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古代インドの「シュルバスートラ」では、√2を

√２〜1+1/3+1/3・4-1/3・4・34=17/12-1/12・34

のように近似している。

これは前述の近似公式において,a=17/12,b=1/144とおけば

√２=((17/12)^2-1/144)^1/2〜17/12-1/(2・17/12・144)=17/12-1/12・34 となって、一致する。インド人がこの公式用いたかどうかはわからないが、非常に興味深い一致であろう

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√２〜(17/12)自体、最良近似になっている

√２〜17/12-1/12・34＝(17・34-1)/12・34=577/408・・・最良近似と一致

12，408はペル数である

最良近似は239/169→577/408 である。

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　ａがｘ^2=0の解ならばａ＝２／ａが成り立ちます．ａがいくらか不正確，たとえば過小評価であるならば，２／ａは過大評価となります．過小評価と過大評価の中間（算術平均）はａと２／ａのいずれよりもよい評価となります．かくして算術平均：

　　ａn+1=1/2(ａn+2/ａn)

によって定義される数列は√(2)に収束することになります（ヘロンのアルゴリズム）．

　ヘロンのアルゴリズムは，算術平均・幾何平均の不等式

　　（ａ＋ｂ）／２≧√ａｂ

において，ｂ＝２／ａの場合となっています．

　　１／２（ａ＋２／ａ）≧√２

　また，この場合，２の平方根をニュートン法x:=x-f(x)/f'(x)で求めるのと同じことになります．ニュートン法の幾何学的意味は「初期値ｘ0における関数の勾配を求めて，接線とｘ軸の交点を求める．この点において，同様の作業を行うとｘは順次解に近づいていく．」と解釈されます．

　ａ＝１を１／２（ａ＋２／ａ）に代入すると３／２が得られますが，これを繰り返すと

　　1→3/2→17/12（１つ飛び越え）→577/408（３つ飛び越え）→665857/470832（７つ飛び越え）→（１５飛び越え）→・・・

　　1,3/2,17/12,577/408,665857/470832,･･･

はヘロン数列と呼ばれます．

　また，ａ＝ｐ／ｑから始めることにすると

　　１／２（ａ＋２／ａ）＝（ｐ^2＋２ｑ^2）／２ｐｑ

　　ｐ／ｑ→（ｐ^2＋２ｑ^2）／２ｐｑ

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